POJ 2417 Discrete Logging

BSGS

用于求解形如 (a^x equiv b pmod p) 的高次同余方程的方法

BSGS(Baby Step, Giant Step), 大步小步(拔山盖世)

我们将 (x) 写成如下形式 $x = i * t - j $ 其中 (t = sqrt p) , $ 0 leq j leq t$ (为了遍历到 (x = 0)的情况,所以我们使 (j) 可以等于 (t) ,当然也可以特判 $x = 0 $的情况)

所以原公式可化为 $$a ^ {i * t} equiv b imes a^j pmod p$$

我们可以预处理出 (b imes a ^ j pmod p) 的所有值,存入Hash表(用map也可以,但是多一个log),如果对于两个不同的 (j) ,算下的值是一样的,因为我们要求的是最小的 (x) ,我们可以贪心的存最大的 (j) .

首先特判,(a) 是否是 (p) 的倍数,如果是根据 (b) 的值输出答案,
然后从小到大枚举 (i) ,计算 (a^{i*t} pmod p),如果对于某个 (i) 来说,计算下的值在Hash表里面出现过,那么答案就是 (i*t - j)

根据欧拉定理 (a^x equiv a^{x + varphi (p)} pmod p)
所以如果 (x) 没有出现在 (varphi (p)) 的范围以内，那么就无解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll p, a, b, n, opt;
struct HashTable{
	static const int MOD = 99901, MAXN = 200005;
	ll head[MAXN], nxt[MAXN], dat[MAXN], id[MAXN], nume;
	void clear(){
		memset(head, 0, sizeof(head));
		memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
		nume = 0;
	}
	void insert(ll x, ll y) {
		for(int i = head[x % MOD]; i ; i = nxt[i]){
			if(dat[i] == x) {id[i] = y;return;}
		}
		dat[++nume] = x;
		id[nume] = y;
		nxt[nume] = head[x % MOD];
		head[x % MOD] = nume;
	}
	ll query(ll x) {
		for(int i = head[x % MOD] ; i; i = nxt[i]) {
			if(dat[i] == x) return id[i];
		}
		return -1;
	}
}Hash;
ll quick_mod(ll n, ll k, ll p) {
	ll ans = 1;
	while(k) {
		if(k & 1ll) (ans *= n) %= p;
		(n *= n) %= p;
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main() {
	while(cin >> p >> a >> b){
		Hash.clear();
		ll t = ceil(sqrt(p));
		if(!(a % p)){
			if(b % p == 1) printf("0
");
			else if(b % p == 0) printf("1
");
			else printf("no solution
");
			continue;
		}
		for(int i = 0 ; i <= t ; i++) {
			ll k = b * quick_mod(a, i, p) % p;
			Hash.insert(k, i);
		}
		ll ans = 1, tmp = quick_mod(a, t, p);
		bool f = 0;
		for(int i = 1; i <= t; i++) {
			(ans *= tmp) %= p;
			ll j = Hash.query(ans);
			if(j != -1) {f = 1; printf("%lld
", i * t - j);break;}
		}
		if(!f) printf("no solution
");
	}
	return 0;
}