【计蒜客习题】蒜头君的积木

问题描述

蒜头君酷爱搭积木，他用积木搭了 n 辆重量为 wi的小车和一艘最大载重量为 W 的小船，他想用这艘小船将 n 辆小车运输过河。每次小船运载的小车重量不能超过 W。另外，小船在运载小车时，每辆小车会对小船有一个损坏值si，当多辆小车一起运载时，该趟运载对小船的损坏值为船上所有小车的最大损坏值。
现在蒜头君想知道，如何用小船运载 n 辆小车，可以使得对小船造成的总损坏值最小。

输入格式

第一行输入两个数 W 和 n（100≤w≤400，1≤n≤16），分别表示小船的最大载重量和小车总数。
接下来输入 n 行，每行输入两个整数si和 wi（1≤si ≤50，10≤wi≤100），分别表示每辆小车对小船的损坏值和每辆小车的重量。
输出格式 
输出一行，输出一个整数，表示用小船运载 nn 辆小车，最小的总损坏值。

样例输入

90 4
32 50
15 20
40 50
13 40

样例输出

72

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状压DP里的经典做法，枚举子集。

for(int j=0;j<(1<<n);++j)
    for(int k=j;k;k=(k-1)&j)

仔细揣摩一下上面的代码，这样枚举子集的效率是很高的。请记住！

对于这道题很容易想到，对于要求解的任意一个方案（第i辆搬不搬），可以通过其子集求解，我们枚举其子集代表达成此方案的最后一次运载，取补集就是之前完成的，这样dp[j]=min{dp[j-k]+cost[k]}。为了提高效率我们可以先预处理出每种情况的花费。

#include<cstdio>
#include<cstring>
inline int min(int a,int b) {return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b) {return a>b?a:b;}
const int maxw=405,maxn=20,inf=0x3f3f3f3f;
int W,n,s[maxn],w[maxn],dp[1<<maxn],weight[1<<maxn],cost[1<<maxn];
int get_w(int i) {
    int ans_w=0;
    for(int j=1;j<=n;++j) {
        if(i&1) ans_w+=w[j];
        i>>=1;
    }
    return ans_w;
}
int get_c(int i) {
    int ans_c=0;
    for(int j=1;j<=n;++j) {
        if(i&1) ans_c=max(ans_c,s[j]);
        i>>=1;
    }
    return ans_c;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&W,&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&s[i],&w[i]);
    memset(dp,inf,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<(1<<n);++i) weight[i]=get_w(i),cost[i]=get_c(i);
    dp[0]=0;
    for(int j=1;j<(1<<n);++j) {
        for(int k=j;k;k=(k-1)&j) {
            if(weight[k]<=W)
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-k]+cost[k]);
        }
    }
    printf("%d",dp[(1<<n)-1]);
    return 0;
}