算法：贪婪算法基础
理解贪心算法
说明
贪心算法是使所做的选择看起来都是当前最佳的，期望通过所做的局部最优选择来产生一个全局最优解。
设计贪心算法的步骤
1.将优化问题转换成这样一个问题，即先做出选择，再解决剩下的一个子问题。
2.证明原问题总是有一个最优解是贪心选择的得到的，从而说明贪心选择的安全。
3.说明在做出贪心选择后，剩下的子问题具有这样一个性质。即如果将子问题的最优解和我们所做的贪心选择联合起来，可以得到一个更加负责的动态规划解。
剪绳子
问题描述
给你一个长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m，n都是整数，且都大于1）每段绳子的长度即为K[0],K[1],K[2]...K[m]。请问K[0]*k[1]..*k[m]可能的最大乘积是多少？
解决思路
如果我们按照如下的策略剪绳子,则得到的各段绳子的长度的乘积将最大;当n>=5,我们尽可能地剪长度为3的绳子;当剩下的绳子长度为4时,把绳子剪为长度为2的绳子.
贪心算法的核心是通过局部最优解来得到全局最优解,对于分割问题来说,要使乘积最大,该问题的贪心思想是尽可能去剪为长度为3的绳子!
Java代码
迭代法
public static int greedy_cut_rope_1(int n)
{
if(n<2)
return 0;
if(n==2)
return 1;
if(n==3)
return 2;
//尽可能多地去减长度为3的绳子段
int timesOf3 = n/3;
//当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再去剪去长度为3的绳子段
if(n-timesOf3*3==1)
timesOf3-=1;
int timesOf2 =(n-timesOf3*3)/2;
return (int) (Math.pow(3,timesOf3)*Math.pow(2,timesOf2));
}
递归法
public static int greedy_cut_rope(int n)
{
if(n==2)
return 2;
if(n==3)
return 3;
if(n<2)
return 1;
//int timesOf3 = n/3;
if(n==4)
return 4;
return 3*greedy_cut_rope(n-3);
}
背包问题
问题描述
给定N个物品和一个容量为C的背包,物品i的重量为Wi，其价值为Vi，背包问题是如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。注意在背包问题中，可以将某种物品的一部分装入背包中，但是不可以重复装入。
解决思路
三种贪心思想：
- 选择价值最大的物品
- 选择重量最轻的物品
- 选择单位重量价值最大的物品
毫无疑问，我们当然选择第三种咯。先把性价比最高的全部装入，最后不足全部装入的部分装入。
Java实现代码
public static int greedy_knapSack(int[] w,int[] v,int n,int c)
{
// 假设物品已按单位重量降序排列
double[] x = new double[10];
int maxValue =0;
int i;
for(i=0;w[i]<c;i++)
{
x[i]=1; //将物品 i 装入背包
maxValue+=v[i];
c=c-w[i]; // 背包剩余数量
}
x[i]=(double)c/w[i]; //物品i装入一部分
maxValue+=x[i]*v[i];
return maxValue; //返回背包获得的价值
}
活动选择问题
问题描述
假设有一个需要使某一资源的n个活动组成的集合S={a1，a2，a3...an}。该资源一次只能被一个活动占用，每个活动ai有一个开始时间Si和结束时间Fi，且0<=Si<Fi<∞。一旦被选择后，活动ai就占据半开时间区间[Si,Fi)。如果区间[Si，Fi)与 [Sj，Fj)互不重叠，称活动ai与aj是兼容的。活动选择问题就是要选择出一个由互相兼容的问题组成的最大集合。
讨论下面的活动集合S，其中各活动已按结束时间的单调递增顺序进行了排序：
解决思路
对于任意非空子问题Sij，设am是Sij中具有最早结束时间的活动：
fm=min{fk:ak∈Sij}
那么：
1.活动am在Sij的某最大兼容活动子集中被使用。
2.子问题Sim为空，所以选择am使子问题Smj为唯一可能非空的子问题
在解决子问题时，选择am是一个可被合法调度、具有最早结束时间的活动。从直觉上来看，这种活动选择方法是一种贪婪技术，他给后面剩下的待调度任务留下了尽可能多的机会。也就是说，此处的贪心选择使得剩下的、未调度的时间最大化。
Java实现代码
迭代贪心算法
public static void greedy_activity_selector(int[] s,int[] f,boolean[] b)
{
int n = s.length-1;
b[1]=true;
int j=1;
for(int i =2;i<=n;i++)
{
if(s[i]>f[j])
{
b[i]=true;
j=i;
}else
b[i]=false;
}
for(int i=1;i<b.length;i++)
System.out.println(b[i]);
}