BZOJ1041 [HAOI2008]圆上的整点 【数学】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

最容易想到的就是直接枚举O(n ^２)

思考如何简化：尽量减少不必要的枚举

我们观察y = sqrt(r^2 - x^2) = sqrt((r + x) * (r - x))

我们令d = gcd(r + x,r - x)，则(r + x) * (r - x) = d^2 * ((r + x)/d) * ((r - x)/d)

又因为y = sqrt((r + x) * (r - x))，所以其必定为完全平方数，又因为(r + x)/d与(r - x)/d互质，所以它们也是完全平方数

我们令d * u^2 = r - x，d * v^2 = r + x

两式联立得：2r/d = u^2 + v^2，x = (v^2 - u^2) * d / 2，y = d*u*v

由此我们得出u与v的限制：①gcd(u,v)=1 ②u^2 + v^2 = 2r/d  ③u <ｖ

如果条件满足，就对应第一象限的一组解，总的解为 4 * ans + 4

时间复杂度分析：

第一层枚举O(√(2n))，第二层枚举O(√(2n/d))

而一个数的总的O(n/k)比O(n)小很多很多，完全可以接受

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define eps 1e-9
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
LL n,ans = 0;
inline int gcd(int a,int b){return !b ? a : gcd(b,a % b);}
void check(LL d){
	LL R = 2 * n / d,E = (LL)sqrt(R),v;
	for (int i = 1; i < E; i++){
		v = (LL)sqrt(R - i * i);
		if (gcd(i,v) == 1 && i <= v &&i * i + v * v == R) ans++;
	}
}
int main()
{
	cin >> n;
	LL E = (LL)sqrt(2.0 * n);
	for (int i = 1; i <= E; i++){
		if (2 * n % i) continue;
		if (i * i == 2 * n) check(i);
		else check(i),check(2 * n / i);
	}
	cout<<4 * ans + 4<<endl;
	return 0;
}