普通型母函数##
母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。
——赫伯特·唯尔夫 [1] 。
生成函数，又称母函数，是数学中，尤其是组合计数中重要的工具
定义如下：
对于任意数列{(a_n)}，如果用如下函数联系起来：
(G(x) = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3+......+a_n x^n)
那么称(G(x))是数列{(a_n)}的生成函数
普通型母函数的一般形式：(G(x) = sum_{i = 0}^{infty} a_ix^i)
比较特别的
数列(C_n^0,C_n^1,C_n^2,......,C_n^n)的生成函数为(G(x) = (1 + x) ^ n)【二项式定理】
应用##
这个函数有什么作用呢？
最直观地说，可以用来组合计数
比如，你有硬币1元，2元，3元各一枚，你想知道能凑出什么面额，以及方案数
那么我们令(G(x) = (1 + x^1)(1 + x^2)(1 + x^3) = 1 + x^1 +x^2 + 2 * x^3 + x^4 + x^5 + x^6)
你会发现，展开后每一项的指数代表面额，其对应系数就是方案数
类似的，如果1元纸币有多枚，其括号内就可以写成((1+x^1+x^2+x^3+......+x^n))，分别表示1元硬币取0枚，1枚，2枚.......
再比如说，掷一次骰子，有(1,2,3,4,5,6)共6中情况
问掷n次的总和有哪些，各有多少种方案？
那么可以构造生成函数：
(G(x) = (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n)
显然展开后就能得到答案
【更多的应用先留坑】