最小圆覆盖

提交：洛谷1742 & BZOJ1336 & BZOJ1337

算法流程##

将所有点随机打乱【这很重要】
之后分为三层：
①从头枚举点，维护最小圆
如果当前点在当前圆内，跳过
否则，执行操作②

②当前点既然在圆外，记为(i)号点，说明(i)号点一定是前(i)个点构成的最小圆的边界上的点，那么固定(i)号点为边界点，从头枚举点再构一次圆
当枚举到点(j)使得(j)在圆外时，执行③
枚举到(i)后，又维护好了一个最小圆，返回到①继续枚举

③同理，当前点(i)和(j)同为前(j)个点和(i)构成的最小圆边界上的点，固定其为边界点，再次重头枚举点构圆
如果再次枚举到一个点(k)在圆外时，我们有了三个点，圆确定，不需要从头枚举
直至枚举到(j)，包含(i)的(1)到(j)的最小圆确定

直至①枚举完，最小圆确定

复杂度分析##

直观来看，枚举分为三层，最坏是(O(n^3))的，但是由于序列的随机性，期望直接达到(O(n))

证明：

枚举到第(i)个点时，该点在前(i)个点最小圆上的概率为(frac{3}{i})，因为三点确定一个圆
故时间复杂度
(O(①) = O(n + 3sum_{i=1}^{n - 1} frac{1}{i} * O(i,②)))
(O(n,②) = O(n - 1 + 2sum_{i=1}^{n - 1} frac{1}{i} * O(i,③)))
(O(n,③) = O(n))

故
(O(n,②) =O(n - 1 + 2sum_{i=1}^{n - 1} frac{1}{i} * O(i)) = O(n - 1 + 2 * O(n)) = O(n))
(O(①) = O(n + 3sum_{i=1}^{n - 1} frac{1}{i} * O(i)) = O(n + 3 * O(n)) = O(n))

故总的复杂度(O(n))

证毕.