Codeforces 812E（Nim变形）

题意：一棵树（1为根，所有叶子节点深度同奇偶），每个节点上有一些苹果。现有两种操作：1.吃掉叶子节点上的苹果；2.将非叶子节点上的苹果送给儿子节点。两人轮流操作，无法操作的人输，现在后手玩家可以任意交换两个节点的苹果数，问有多少种交换方法使得后手胜利（必须交换）。

题解：将所有节点分为两类，深度与叶子节点同奇偶（蓝）、深度与叶子节点奇偶不同（红）。有结论：当所有蓝色节点异或和为 0 时，后手必胜。因此需要寻找有多少种交换方法可以使得蓝色节点异或和为0。

证明：可以将所有的蓝色节点看作Nim游戏中的石堆，现在的操作可以放入（将红色节点的苹果送给蓝色儿子）也可以拿出（吃掉蓝色叶子结点的苹果 or 将蓝色节点的苹果送给红色儿子）。因此结论与Nim相同：蓝色节点异或和为 0 时，后手必胜。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,s,p;
int a[100005];
int in[100005];
int vis[100005];
vector<int> v[2];
map<int,int> num[2];
vector<int> g[100005];
int dfs(int u,int deep){
    vis[u]=(deep%2);
    v[deep%2].push_back(a[u]);
    num[deep%2][a[u]]++;
    for(int i=0;i<g[u].size();i++){
        dfs(g[u][i],deep+1);
    }
}
int main(){
    s=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%d",&p);
        g[p].push_back(i);
        in[p]++;
    }
    dfs(1,0);
    int p=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(in[i]==0){
            p=vis[i];
            break;
        }
    }
    for(int i=0;i<v[p].size();i++) s^=v[p][i];
    LL ans=0;
    if(s==0){
        LL l1=v[0].size(),l2=v[1].size();
        ans+=l1*(l1-1)/2+l2*(l2-1)/2;
        for(int i=0;i<v[p].size();i++){
            int tmp=v[p][i];
            ans+=(LL)num[p][tmp]*num[1-p][tmp];
            num[p][tmp]=num[1-p][tmp]=0;
        }
    }
    else{
        for(int i=0;i<v[p].size();i++){
            int tmp=s^v[p][i];
            ans+=(LL)num[p][v[p][i]]*num[1-p][tmp];
            num[p][v[p][i]]=num[1-p][tmp]=0;
        }
    }
    printf("%lld
",ans);

    return 0;
}