[NOIp 2016]愤怒的小鸟

Description

Input

Output

Sample Input

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

Sample Output

1
1

Sample Explanation

HINT

题解

暴力做法:

1、因为三点可以确定一条抛物线,又必过原点,那么只需要再找两个点就能确定一条抛物线;

2、枚举点对,求出抛物线方程,注意两点的$x$坐标不能相等,抛物线的二次项系数必须小于$0$;

3、删掉在抛物线上的点,进入下一层继续枚举。

60分算法:

1、如果使用暴力,我们会删掉一些线段进入下一个状态,一个状态是指现在平面内还剩多少个点;

2、注意到一点:从当前状态无论以什么方式删点,均不会影响之前状态到当前状态的决策。也就是说:在之前的状态时,我们只需要考虑,怎样删点来到达当前状态即可,而不用管当前状态下如何删点来到达下一个状态;

3、这具备明显的无后效性,我们用一个二进制数$S$来表示一个状态,若$S$的第$i$位为$1$,则表示第$(i+1)$个点还存在于平面内,那么状态压缩的$DP$可以解决;

4、同样对于每个状态枚举抛物线即可。

100分算法:

1、平面内有$n$个点,共$2^n$个状态,每次枚举抛物线还要检查每个点,需要$O(n^3)$复杂度;

2、每次都要枚举抛物线经过的两个点,即抛物线必定会删去的两个点。既然我们的最终目标是将当前状态所有的点都删去,那么可以知道,删掉所有点的最优方案中,一定会有一条抛物线经过当前状态的第一个点(否则就没法删掉它了);

3、那么我们只需要枚举经过当前状态第一个点的抛物线就可以(这么做一定不会有错误的决策)。

#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x1 x[i]
#define x2 x[j]
#define y1 y[i]
#define y2 y[j]
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;
const double ex=1e-8;
int st[20] = {1};

int n, m;
double x[20], y[20];
int c[20][20];
int f[(1<<18)+5];

void work(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    　　scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int i = 0; i < n; i++)
    　　for (int j = i+1; j < n; j++){
     　　   double a = (x1*y2-y1*x2)/(x1*x2*x2-x1*x1*x2);
      　　  if (a >= 0) continue;
      　　  double b = (y1-a*x1*x1)/x1;
       　　 for (int k = 0; k < n; k++)
       　　　　 if (abs(y[k]-a*x[k]*x[k]-b*x[k]) <= ex)
         　　　　   c[i][j]+=st[k];
    }
    memset(f, 127, sizeof(f));
    f[0]=0;
    int lim = (1<<n)-1;
    int INF = f[1];
    for (int i = 0; i <= lim; i++)
    　　if (f[i] != INF)
        　　for (int j = 0; j < n; j++)
        　　　　if (!(i&st[j])){
            　　　　f[i|st[j]] = Min(f[i|st[j]], f[i]+1);
            　　　　for (int k = j+1; k < n; k++){
          　　　　 　　 int tmp = i|c[j][k];
          　　　　 　　 f[tmp] = Min(f[tmp], f[i]+1);
           　　　　 }
       　　　　 }
    printf("%d
", f[lim]);
}

int main(){
    for (int i = 1; i <= 18; i++)
    st[i] = st[i-1]<<1;
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    　　work();
    return 0;
}