[HAOI 2008]硬币购物

Description

　　硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买si的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Input

　　第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s,其中di,s<=100000,tot<=1000

Output

　　每次的方法数

Sample Input

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

Sample Output

4
27

题解

显然直接用多重背包做会超时，先不考虑每种硬币数量的限制，设$f[i]$为不考虑每种硬币数量的限制时，面值为$i$的方案数，则状态转移方程就呼之欲出了:$f[i]={sum f[i-c[k]]}$,$i-c[k]>=0$,$1<=k<=4$

为避免方案重复，要以$k$为阶段递推，边界条件为$f[0]=1$，这样预处理的时间复杂度就是$O(s)$。

接下来对于每次询问，根据容斥原理，答案即为得到面值为$S$的不超过限制的方案数=得到面值$S$的无限制的方案数即$f[s]$

– 第$1$种硬币超过限制的方案数 – 第$2$种硬币超过限制的方案数 – 第$3$种硬币超过限制的方案数 – 第$4$种硬币超过限制的方案数

+ 第$1$,$2$种硬币同时超过限制的方案数 + 第$1$,$3$种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第$1$,$2$,$3$,$4$种硬币全部同时超过限制的方案数。

用$dfs$实现，当选择的个数是奇数时用减号否则用加号。

当第$1$种硬币超过限制时，只要要用到$D[1]+1$枚硬币，剩余的硬币可以任意分配，所以方案数为 $F[ S – (D[1]+1)*C[1] ]$，

当且仅当$(S – (D[1]+1)*C[1])>=0$，否则方案数为$0$。其余情况类似，每次询问只用问$16$次，所以询问的时间复杂度为$O(1)$。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const LL N = 100000;
LL Read() {
    char ch = getchar();
    LL sum = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') sum = (sum<<3)+(sum<<1)+ch-48, ch = getchar();
    return sum;
}
LL c[4], k;
LL f[N+5];
LL d[4], s;
LL ans;

void dfs(int cen, LL cnt, bool mark) {
    if (cnt < 0) return;
    if (cen == 4) {
        if (mark) ans -= f[cnt];
        else ans += f[cnt];
        return;
    }
    dfs(cen+1, cnt-c[cen]*(d[cen]+1), !mark);
    dfs(cen+1, cnt, mark);
}

void work() {
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        c[i] = Read();
        for (int j = c[i]; j <= N; j++)
            f[j] += f[j-c[i]];
    }
    k = Read();
    while (k--) {
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            d[i] = Read();
        s = Read();
        ans = 0;
        dfs(0, s, 0);    
        printf("%lld
", ans);
    }
}
int main() {
    work();
    return 0;
}