LOJ 2553 「CTSC2018」暴力写挂——边分治+虚树

题目：https://loj.ac/problem/2553

第一棵树上的贡献就是链并，转化成 ( dep[ x ] + dep[ y ] + dis( x, y ) ) / 2 ，就可以在第一棵树上写边分治，把两边的点到第二棵树上建虚树，在虚树上 DP ，那么虚树上的当前点就是它不同子树里点的 lca ，所以记 dp[ cr ][ 0/1 ] 表示该点子树里 “第一棵树边分治的两个点集” 里最大的两个贡献；用当前点的深度作为 “第二棵树的 lca 深度” 来更新答案即可。

一直 TLE 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
ll Mx(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
ll Mn(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
const int N=366670; const ll INF=1e16;
int n,hd[N],xnt=1,to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1],tw;//xnt=1
int siz[N],mn,Rt,p[N],tot; bool vis[N];
ll dep[N],dis[N],ans;
namespace Tr{
  const int K=18;
  int hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1];
  int dfn[N],tim,sta[N],top,pre[N][K+5],bin[K+5];
  ll dep[N],dp[N][2]; int tdp[N];
  bool cmp(int u,int v){return dfn[u]<dfn[v];}
  void add(int x,int y,int z)
  {to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;}
  void ini_dfs(int cr,int fa)
  {
    dfn[cr]=++tim; dp[cr][0]=dp[cr][1]=-INF;
    tdp[cr]=tdp[fa]+1; pre[cr][0]=fa;
    for(int t=1,d=fa;(d=pre[d][t-1]);t++)
      pre[cr][t]=d;
    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
      if((v=to[i])!=fa)
    { dep[v]=dep[cr]+w[i]; ini_dfs(v,cr);}
  }
  void init()
  {
    for(int i=1,u,v,z;i<n;i++)
      {
    u=rdn();v=rdn();z=rdn();
    add(u,v,z); add(v,u,z);
      }
    bin[0]=1;for(int i=1;i<=K;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
    ini_dfs(1,0);
  }
  int get_lca(int x,int y)
  {
    if(tdp[x]<tdp[y])swap(x,y); int d=tdp[x]-tdp[y];
    for(int t=0;d;t++)
      if(d&bin[t])x=pre[x][t],d^=bin[t];
    if(x==y)return x;
    for(int t=K;t>=0;t--)
      if(pre[x][t]!=pre[y][t])
    x=pre[x][t], y=pre[y][t];
    return pre[x][0];
  }
  void link(int cr,int v)
  {
    ans=Mx(ans,((dp[cr][0]+dp[v][1]+tw)>>1)-dep[cr]);
    ans=Mx(ans,((dp[cr][1]+dp[v][0]+tw)>>1)-dep[cr]);
    dp[cr][0]=Mx(dp[cr][0],dp[v][0]);
    dp[cr][1]=Mx(dp[cr][1],dp[v][1]);
    dp[v][0]=dp[v][1]=-INF;//
  }
  void solve()
  {
    sort(p+1,p+tot+1,cmp);
    sta[top=1]=1;//1
    for(int i=(p[1]==1)+1;i<=tot;i++)
      {
    int cr=p[i], lca=get_lca(cr,sta[top]);
    while(top&&dfn[lca]<dfn[sta[top]])
      {
        if(dfn[lca]<dfn[sta[top-1]])
          link(sta[top-1],sta[top]), top--;
        else
          link(lca,sta[top]), top--;
      }
    if(sta[top]!=lca)sta[++top]=lca;
    sta[++top]=cr;
      }
    for(int i=top-1;i;i--)link(sta[i],sta[i+1]);
    dp[sta[1]][0]=dp[sta[1]][1]=-INF;
  }
}
void add(int x,int y,int z){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;}
void ini_dfs(int cr,int fa)
{
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa)
      { dep[v]=dep[cr]+w[i]; ini_dfs(v,cr);}
}
void get_rt(int cr,int fa,int s)
{
  siz[cr]=1;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if(!vis[i>>1]&&(v=to[i])!=fa)
      {
    get_rt(v,cr,s); siz[cr]+=siz[v];
    int tmp=Mx(siz[v],s-siz[v]);
    if(tmp<mn) mn=tmp, Rt=i;
      }
}
void dfs(int cr,int fa,ll lj,bool fx)
{
  Tr::dp[cr][fx]=lj+dep[cr]; p[++tot]=cr;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if(!vis[i>>1]&&(v=to[i])!=fa)
      dfs(v,cr,lj+w[i],fx);
}
void solve(int cr,int s)
{
  vis[cr>>1]=1; tot=0;
  dfs(to[cr],0,0,0); dfs(to[cr^1],0,0,1);
  tw=w[cr]; Tr::solve();
  int v=to[cr], ts=siz[v];
  if(ts>1){ mn=N;get_rt(v,0,ts);solve(Rt,ts);}
  v=to[cr^1]; ts=s-ts;
  if(ts>1){ mn=N;get_rt(v,0,ts);solve(Rt,ts);}
}
int main()
{
  n=rdn();
  for(int i=1,u,v,z;i<n;i++)
    {
      u=rdn();v=rdn();z=rdn();
      add(u,v,z); add(v,u,z);
    }
  Tr::init(); ini_dfs(1,0);
  mn=N;get_rt(1,0,n);solve(Rt,n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=Mx(ans,dep[i]-Tr::dep[i]);
  printf("%lld
",ans);
  return 0;
}

以为是常数不够优秀，所以学习了一下别人的代码。http://blog-wayne.com/2018/05/15/509/

　　仔细一想，建虚树的时候每次 logn 地找 lca ，这样岂不是 nlog²n 的？所以不要每次建虚树都找 lca 。

　　一开始把所有 n 个点的相邻点之间的 lca 都找出来。令 a[ i ] 存第一棵树里 dfs 序第 i 大的点的标号， lca[ i ] 存 a[ i ] 和 a[ i-1 ] 的 lca 。

　　边分治的过程中带一个 l , r ，表示现在整个点集对应第二棵树的 a[ l ] ~ a[ r ] 。那么用 lca[ ] 就可以建虚树了。

　　考虑当前点集分成两个之后，怎么更新 a[ ] 和 lca[ ] ；

　　在 a[ ] 中找出所有属于边分治一边的点，假设是 a[ 3 ] , a[ 6 ] , a[ 7 ] ... ，那么 a[ 3 ] 对应的 lca 随便， a[ 6 ] 对应的 lca 应该是 lca[ 4 ] , lca[ 5 ] , lca[ 6 ] 中深度最浅的那个；

　　这样就能在边分治的过程中维护好 a[ ] 和 lca[ ] 了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
ll Mn(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
ll Mx(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
const int N=366670<<1; const ll INF=1e15;
int n,hd[N],xnt=1,to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1];
int mn,siz[N],Rt; ll ans,dp2[N],dp[N][2]; bool lx[N];
vector<pii> vt[N];
namespace Tr{
  int hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1],tim;
  int dep[N],a[N],ta[N],lca[N],tlca[N];
  int sta[N],top; ll dp2[N];
  void add(int x,int y,int z)
  {to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;}
  void ini_dfs(int cr,int fa)
  {
    while(top&&dep[sta[top]]>=dep[cr])top--;
    a[++tim]=cr; lca[tim]=sta[top]; sta[++top]=cr;
    dp[cr][0]=dp[cr][1]=-INF;
    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
      if((v=to[i])!=fa)
    {
      dep[v]=dep[cr]+1; dp2[v]=dp2[cr]+w[i];
      ini_dfs(v,cr);
    }
  }
  void init()
  {
    for(int i=1,u,v,z;i<n;i++)
      u=rdn(),v=rdn(),z=rdn(),add(u,v,z),add(v,u,z);
    ini_dfs(1,0);
  }
  void link(int cr,int v,int tw)
  {
    ans=Mx(ans,((dp[cr][0]+dp[v][1]+tw)>>1)-dp2[cr]);
    ans=Mx(ans,((dp[cr][1]+dp[v][0]+tw)>>1)-dp2[cr]);
    dp[cr][0]=Mx(dp[cr][0],dp[v][0]);
    dp[cr][1]=Mx(dp[cr][1],dp[v][1]);
    dp[v][0]=dp[v][1]=-INF;
  }
  int solve(int l,int r,int tw)
  {
    sta[top=1]=a[l];
    for(int i=l+1;i<=r;i++)
      {
    int lm=dep[lca[i]];
    while(top&&dep[sta[top]]>lm)
      if(dep[sta[top-1]]>lm)
        link(sta[top-1],sta[top],tw), top--;
      else
        link(lca[i],sta[top],tw), top--;
    if(sta[top]!=lca[i])sta[++top]=lca[i];
    sta[++top]=a[i];
      }
    for(int i=top-1;i;i--)link(sta[i],sta[i+1],tw);
    dp[sta[1]][0]=dp[sta[1]][1]=-INF;
    int mid=l-1;
    for(int i=l,tl=0;i<=r;i++)
      {
    if(!tl||dep[lca[i]]<dep[tl])tl=lca[i];
    if(!lx[a[i]])
      { ta[++mid]=a[i]; tlca[mid]=tl; tl=0;}
      }
    int ret=mid;
    for(int i=l,tl=0;i<=r;i++)
      {
    if(!tl||dep[lca[i]]<dep[tl])tl=lca[i];
    if(lx[a[i]])
      { ta[++mid]=a[i]; tlca[mid]=tl; tl=0;}
      }
    for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=ta[i];
    for(int i=l;i<=r;i++)lca[i]=tlca[i];
    return ret;
  }
}
void add(int x,int y,int z)
{
  to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;
  to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;w[xnt]=z;
}
void del_ed(int x,int y)
{
  if(to[hd[x]]==y)hd[x]=nxt[hd[x]];
  else
    {
      for(int i=hd[x],pr;i;pr=i,i=nxt[i])
    if(to[i]==y)nxt[pr]=nxt[i];
    }
  if(to[hd[y]]==x)hd[y]=nxt[hd[y]];
  else
    {
      for(int i=hd[y],pr;i;pr=i,i=nxt[i])
    if(to[i]==x)nxt[pr]=nxt[i];
    }
}
void Rbuild(int cr,int fa)
{
  for(int i=0,lst=0,lm=vt[cr].size();i<lm;i++)
    {
      int v=vt[cr][i].first, z=vt[cr][i].second;
      if(v==fa)continue;
      if(!lst)add(cr,v,z),lst=cr;
      else{ n++; add(lst,n,0); add(n,v,z); lst=n;}
    }
  for(int i=0,v,lm=vt[cr].size();i<lm;i++)
    if((v=vt[cr][i].first)!=fa) Rbuild(v,cr);
}
void ini_dfs(int cr,int fa)
{
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa)
      { dp2[v]=dp2[cr]+w[i]; ini_dfs(v,cr);}
}
void get_rt(int cr,int fa,int s)
{
  siz[cr]=1;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa)
      {
    get_rt(v=to[i],cr,s); siz[cr]+=siz[v];
    int mx=Mx(siz[v],s-siz[v]);
    if(mx<mn)mn=mx,Rt=i;
      }
}
void dfs(int cr,int fa,ll lj,bool fx)
{
  dp[cr][fx]=lj+dp2[cr]; dp[cr][!fx]=-INF; lx[cr]=fx;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa) dfs(v,cr,lj+w[i],fx);
}
void solve(int cr,int s,int l,int r)
{
  int u=to[cr^1], v=to[cr]; del_ed(u,v);
  dfs(u,0,0,0); dfs(v,0,0,1);
  int mid=Tr::solve(l,r,w[cr]);
  int ts=siz[v];
  if(ts>1){mn=N;get_rt(v,0,ts);solve(Rt,ts,mid+1,r);}
  ts=s-ts;
  if(ts>1){mn=N;get_rt(u,0,ts);solve(Rt,ts,l,mid);}
}
int main()
{
  n=rdn();
  for(int i=1,u,v,z;i<n;i++)
    {
      u=rdn();v=rdn();z=rdn();
      vt[u].pb(mkp(v,z)); vt[v].pb(mkp(u,z));
    }
  Tr::init(); int yn=n;
  Rbuild(1,0); ini_dfs(1,0);
  mn=N;get_rt(1,0,n);solve(Rt,n,1,yn);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=Mx(ans,dp2[i]-Tr::dp2[i]);
  printf("%lld
",ans); return 0;
}

　　后来发现之前 TLE 是忘了写 rebuild ... 不过懒得改了。