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  • 数论TIPS(Loading...)

      1.一个数的约数和=(1+p1+p12+...+p1c1)*(1+p2+p22+...+p2c2)*...*(1+pk+pk2+...+pkck)(p为这个数的各个质因数,c表示为各个质因数的次方,k表示质因数个数)

      2.求一个数的质因数只需要O(sqrt(n))的时间复杂度,先筛出素数,然后将原数除去小素数,如果原数最后不为1,那么这个数肯定也是素数

      3.相邻的数交换使得最终成为上升序列,交换的次数为逆序对数

      4.费马小定理:若p为质数,则$a^{p}≡a(mod;p)$

      5.欧拉定理:若正整数a,n互质,则$a^{phi(n)}≡1(mod;n)$

      6.一个正整数n,设它其中一个约数为p,那么gcd(i,n)==p的有$phi(n/p)$个

      7.欧拉定理推论:若正整数a,n互质,则对于任意正整数b,有$a^{b}≡a^{b;mod;phi(n)}(mod;n)$

      8.乘法逆元:若整数b,p互质,并且b|a,则存在一个整数x,使得a/b≡a*x(mod p),则称x为b的模p乘法逆元,当模数p为质数时,bp-2即为b的乘法逆元,也就是b-1≡bp-2(mod p)

      9.中国剩余定理(crt):设m1,m2,...,mn是两两互质的整数,$m=prod_{i=1}^{n}m_{i}$,Mi=m/mi,ti是线性同余方程Miti≡1(mod mi)的一个解,对于任意的n个整数a1,a2,...,an,方程组:x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),...,x≡an(mod mn),有整数解,且解为$x=sum_{i=1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}$

      10.二项式定理:$(a+b)^{n}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

      11.Lucas定理:若p是质数,则对于任意整数1<=m<=n,有:$C_{n}^{m}=C_{n;mod;p}^{m;mod;p}*C_{n/p}^{m/p}(mod;p)$

      12.Catalan数列:给定n个0,n个1,他们按照某种顺序排成长度为2n的序列,满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为$Cat_{n}=frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

        Catalan数推论:

        (1).n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的数量为Catn

        (2).1,2,...,n经过一个栈,形成的合法出栈序列的数量为Catn

        (3).n个节点构成的不同二叉树的数量为Catn

        (4).在平面直角坐标系上,每一步只能向上或向右走,从(0,0)走到(n,m)并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数量为2Catn-1

      13.莫比乌斯函数的性质:

        (1).对于一个数d,如果d=1,$mu(d)=1$,如果d为互异质数p1p2p3...pk的乘积,则$mu(d)=(-1)^{k}$,否则$mu(d)=0$

        (2).$sum_{d|x}mu(d)=[x==1]$

        (3).对于任意正整数n有:$sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{phi(n)}{n}$

        (4).$sum_{d|x}phi(d)=x$

        莫比乌斯反演:

        (1).如果存在函数F(x)和f(x),满足$F(n)=sum_{d|n}f(d)$,则可以得到$f(n)=sum_{d|n} mu(d)F(frac{n}{d})$

        (2).如果存在函数F(x)和f(x),满足$F(n)=sum_{n|d}f(d)$,则可以得到$f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$

      14.序列错排求解:对于一个长度为n的序列,n个数互不相同且均为1到n的数,使得一个序列中第i个位置都不等于i的序列数量为$D(n)$。令$D(0)=1,D(1)=0$,得$D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))$

      15.对于一个n*m的图,只能向右或向下行走,从左上角走到右下角的方案数为$C_{n+m-2}^{n-1}$

      16.快速求自然数幂和$sum_{i=1}^{n}i^{k}mod p$的几种方法

        (1).差分表,$S(n,k)=sum_{i=1}^{n}i^{k}$

          公式:$S(n,k)=frac{1}{k+1} left( (n+1)^{k+1}-n-1-sum_{i=2}^{k}C_{k+1}^{i}S(n,k-i+1) ight )$

          复杂度:$O(k^{2})$

        (2).伯努利数,$B_{0}=1$

          因为$sum_{j=0}^iC_{i+1}^jB_j=0$

          所以$B_i=-frac{1}{i+1}sum_{j=0}^{i-1}C_{i+1}^{j}B_j$

          公式:$sum_{i=1}^{n}i^k={1over{k+1}}sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i$

          复杂度:$O(Tk)$T为数据组数

      17.1到x中,与x互质的数的和为$frac{phi(x)*x}{2}$,特殊的,当x=1时,数和为0

      18.等比数列$S_{n}=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$,$S_n$为前n项的和,$a_1$为首项,$q$为公比

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Never-mind/p/9236054.html
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