【SICP练习】31 练习1.37



练习1.37

根据题目中的意思通过观察得到k项有项连分式的一种表达方式：

f=N1/(D1+(N2/(…+Nk/Dk)))

这个式子可以不断展开，但如果我们把每一个”+”后面的式子记作T(i)。不对，我们应该将每一个N/D记作T(i)，因为这组式起始于N/D，且中止与N/D。计N1/D1为T(1)，N2/D2为T(2),Nk/Dk为T(k)。在数学上可能不会联想到递归，而是联想到一个表达式，以谋求能够化简。但在这里大家应该都发现了这是一个递归过程。

接着我们来写出题目要求的(cont-fracn d k)：

(define (cont-frac n d k)

   (define (cont-frac-t i)

       (if (= k i)

          (/ (n k) (d k))

          (/ (n i) (+ (d i) (cont-frac-t (+ i1))))))

   (cont-frac-t 1))

下面我们利用题中给出的过程来写一个黄金分割率的定义。

(define(cont-frac-golden-ratio k)

   (+ 1 (cont-frac (lambda (i) 1.0)

                  (lambda (i) 1.0)

                  k)))

接下来我们按照题中的要去来测试一下刚才所写的过程。

通过几次测试之后得出的结论是当k为11时即有十进制的4位精度，而且k值越大精度越大。

(cont-frac-golden-ratio 11)

;Value: 1.6180555555555556

好了，现在我们还要来考虑迭代版本。我们只要记住迭代的空间需求是不变的，在题中的式子中，我们可以发现如下规律：

T(1)=N1/(D1+T(2))

T(2)=N2/(D2+T(3))

T(3)=N3/(D3+T(4))

……

T(k-2)=N(k-2)/(D(k-2)+T(k-1))

T(k-1)=N(k-1)/(D(k-1)+T(k))

Tk=Nk/Dk

根据如下的表达式的规律，我们可以写出迭代版本的cont-frac函数，像前面博文中所讲，我们依旧应该添加一个存储器，比如other。而不断变化的other就是前面表达式从依次往下的最右边的T。

(define (cont-frac n d k)

   (define (cont-frac-t i other)

       (if (= i 0)

          other

          (cont-frac-t (- i 1) (/ (n i)

                            (+ (d i) other)))))

   (cont-frac-t (- k 1) (/ (n k)

                       (d k))))

这道习题我们就此完成了，再接再厉完成这一节的最后一题。不对，反面还有一题。

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