B监狱 noip 模拟 7.29（区间DP）

监狱
题目描述

    有一座监狱，有N个牢房，N个牢房呈一字排成一排的。也就是说，第i个牢房紧挨着第i+1个(除了末尾那个)。每个牢房里都关押着一名罪犯，总共N名罪犯。
    上级要求将某些罪犯释放，给了一份名单，要求每天释放一个人。
    位于相邻牢房的罪犯，他们互相之间可以谈话也可以传话，这就使得这里的N名罪犯都可以相互聊天。如果有一个人离开了，那么能和说他上话的人就会很狂躁。如果想让他们安静下来，看守必须给狂躁的人吃一顿火锅。但看守们希望送火锅的次数越少越好。请你计算需要送火锅的次数。
123

输入格式

第一行两个数N和M，M表示要释放名单上的人数；
第二行M个数，表示释放哪些人
12

输出格式

仅一行，表示最少要给多少人次送火锅吃。
1

样例输入

20 3
3 6 14
12

样例输出

35

 

 

 

这道题我真的是想了很久QAQ

开先打了个70 分算法

一直纠结 O(m^3) 算法

网上找了好久 题解也看了 很多 终于悟出了一些小细节

 方法一：

定义 f[i][j] 表示 i 到 j 号 囚犯已经被释放

 

注意 是被释放的囚犯 

所以 对于 每一个小区间的状态都是 于原区间一样 

那么i号释放的代价 为 他左右两边 的没有释放资格的囚犯数

 

所以枚举断点 k

K 将 i 到 j 分成 区间 [i,k-1] [k+1,j]  对于每个区间 都已经被算好了 k 就是第一个来更新 [i,j]的 才会 把 [i，j] 分成两个独立的区间

所以代价为 a[j+1]-a[i-1]-2 (这里想了很久，其实想想也是  对于区间 [i,j] 是释放囚犯的集合 他其实包含了没有释放资格的囚犯 a[j+1]-a[i-1]-2 是 i-

1号释放囚犯 和 j+1 号释放囚犯间的 人数)

-2？ 因为 自己不更新 

所以我们有状态转移方程 

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-2);

时间复杂度 O（M^3)

 

 

 

某ruan姓同学思路：

枚举k∈[i,j]，k是区间[i,j]内第一个被放出去的囚犯，这个区间内本来有a[j+1]-a[i-1]-1个囚犯，放出去一个之后剩下a[j+1]-a[i-1]-2个囚犯都要吃火锅

然后区间[i,j]被分成了[i,k-1]和[k+1,j]

因为第k个囚犯被放出去了

code:

//
#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxnn 4002
int f[maxnn][maxnn];
int n,m;
int a[101];
int s[maxnn][maxnn];
int sum[maxnn];
int res[maxnn];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1,a+1+m);
    a[m+1]=n+1;
    for(int i=m;i>=1;i--)
    for(int j=i;j<=m;j++)
    {    f[i][j]=1e9;
        for(int k=i;k<=j;k++)
        f[i][j]=min(f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-2,f[i][j]);
        
    }cout<<f[1][m];
}

至于为甚么 a[m+1]=n+1;因为 n节点不是一个有释放资格的囚犯

 方法2：

 

f[i][j]表示将第i个区间到第j个区间的人全部合并的最小代价

那么对于f[i][j],我们就可以枚举中间区间mid
那么f[i][j]的求值表达是就是

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][mid]+f[mid+1]][j]+sum[j]-sum[i-1]-2){其中i<=mid<j}

解释一下
f[i][mid]+f[mid+1][j]表示的是之前进去的人请吃的火锅
sum[j]-sum[i-1]-1表示的是这一整段区间的人数之和
因为请吃火锅的这个人本身不吃，所以还要-1

得到==>f[i][mid]+f[mid+1][j]+sum[j]-sum[i-1]-2

 

合并区间！！  式子+代价

 

https://blog.csdn.net/qq_37920580/article/details/77936432