Day 6的第二部分，数论
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质
1.一些符号：
a mod b 代表a除以b得到的余数
a|b a是b的约数
floor(x) 代表x的下取整，即小于等于x的最大整数，也可以认为是直接舍去小数部分
(这个应该是一个符号，但我不知道怎么打出来。。下面那个ceil也是)
ceil(x) 代表x的上取整，即大于等于x的最小整数，也可以认为是直接舍去小数部分再+1.
gcd(a,b) 表示a与b的最大公约数
lcm(a,b) 表示a与b的最小公倍数
累加符号∑ 累乘符号∏
logab代表以a为底的b的对数，ln表示以e为底的对数，lg代表以10为底的对数
2.质数
也称素数，是质因子只有1和它本身的数。
与质数相对的是合数，合数在因数拆分时可以拆分成至少两对其他数的乘积。
特殊规定，1既不是质数也不是合数。
可以证明，素数是无限多个的，证明从略。
3.唯一分解定理
算术基本定理之一。
定理是这样描述的：对于每一个大于1的自然数都可以写成质数的积，而这些因子按照大小排列后，只有一种结果（写法只有一种）。
我并不会证。。。我太弱了
这个定理是分解质因数的基础。它告诉我们可以用质数乘积的形式处理一些大数字，处理一类和约数有关的问题。
显然，一个数n最多有一个大于√n的质因子。
4.筛法
用来快速求一个数是不是质数的算法
通常有两种筛法：埃氏筛和欧拉筛
4.1埃氏筛法
核心思想：从2到n枚举，当找到一个质数时，枚举它的所有倍数，这些倍数绝对不可能是质数。
int cnt; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; void Eratosthenes(int n){ for (int i=2;i<=n;i++) if (!vis[i]){ prime[++cnt] = i; for (int j = i*2;j<=n;j+=i) vis[j] = 1; } }
时间复杂度是O(nloglogn)，证明从略。
4.2欧拉筛法
核心思想是通过让每一个数只会被它最小的质因子筛到，从而每个数只会被筛一次，时间复杂度O(n)。
对于任意一个合数，我们可以拆成最小质因子*某数i的形式，我们枚举这个数i，然后再枚举出所有筛的质数。
当我们枚举的质数可以整除i时，如果再往大里枚举，枚举的质数就不可能是最小质数了。这时就可以终止循环，继续枚举下一个i。
int cnt; int prime[maxn]; bool vis[maxn]; void Eular(int n){ for (int i=2;i<=n;i++){ if (!vis[i]) prime[++cnt] = i; for (int j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=n;++j){ vis[prime[j]*i] = 1; if (i % prime[j] == 0) break; } } }
5.取模
我想您应该早已熟知余数的定义。
a % b(就是a mod b)得到的结果是a除以b得到的余数。
性质:a %ｂ = a-(a/b)*b
一些题目要求对答案取模，如果这个答案是负的，应该加上模数而不是除。
取模的性质：
(a±b) % p = ((a % p) ± b) % p
(a*b) %ｐ＝(a % p) * (b % p)
6.最大公约数
辗转相除。
int gcd(int a, int b){ if (!b) return a; return gcd(b, a % b); }
7.同余
这里引入一个新符号，a≡b(mod n)表示a与b在模n意义下的余数相同，称为a与b同余。
同余的性质：
1.反身性 a≡a (mod m)
2.对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)
3.传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)
4.同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d (mod m)（或换成-）
5.同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)
7.1逆元
如果 ax≡1(mod n)，那么x为a关于模n意义下的逆元。
逆元一般用inv简称。
当gcd(a,n) = 1时x为一唯一值，否则不存在，证明从略。
其实可以这么想，x为模n意义下的倒数，也就是1/a，我们可以类比实数意义下的倒数在模n意义下a乘以b的逆元，相当于模n意义下的a/b。
求逆元的方法，接下来讲。
8.扩展欧几里得算法
（借鉴了gty哥哥课件的思路）
简称扩欧，exgcd。
用来求解形似ax+by = gcd(a,b)一类方程的解。
这里的x和y不一定是正整数，有可能是负数或0.
比如说我举个例子，求一直线ax+by+c = 0上有多少个整数点(x,y)满足x∈[x1,x2]，y∈[y1,y2]
边界情况：
当b=0时，gcd(a,b)=a，x=1,y=0
假设 ax1 + by1= gcd(a,b)，bx2 + (a % b)y2= gcd(b,a % b)
由gcd的意义，知gcd(a,b) = gcd(b,a % b)，那么有ax1 + by1 = bx2+ (a % b)y2;
也就是说ax1 + by1 = bx2 + (a - [a / b] * b)y2 = ay2 + bx2 - [a / b] * by2;
也就是说ax1 + by1 == ay2+ b(x2 - [a / b] *y2);
那么，x1 = y2; y1 = x2 - [a / b] * y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。我们可以通过不断递归调用求解。
void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y){ if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= (a / b) * x; } }
我们这样只能得出一组解，其他解呢？如果我们现在有解（x1,y1)，任取另外一组解(x2,y2)，则有ax1 + by1 = ax2 + by2 = gcd(a, b)，变形可以得到a(x1 – x2) = b(y2 – y1)，两边同时除以gcd(a, b)，得到a’(x1 – x2) = b’(y2 – y1)，因为(a’,b’)=1，所以(x1-x2)一定是b’的倍数，取x1-x2=kb’,得y2-y1=ka’。
所以我们有以下结论：
对方程ax+by+c=0，一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解可以写成(x0+kb’,y0-ka’),其中a’=a/gcd(a, b)，b’=b/gcd(a, b)
关于ax+by=c有没有解，我们有这么一个结论：
对于方程ax+by=c（a,b,c均为整数），如果c为gcd(a,b)的倍数，则方程有整数解，反之无整数解。因为a和b都是gcd(a,b)的倍数，所以ax+by一定也是gcd(a,b)的倍数，如果c不是gcd(a,b)的倍数，一定无解。
那刚才那道题怎么做呢？
方程变形为ax+by = -c，看一下-c是不是gcd(a,b)的倍数，然后用exgcd求一下ax+by = gcd(a,b)的解，记为(x0,y0)。
等式两边同乘(-c)/gcd(a,b)，就有ax0'+by0' = -c
用刚才的结论，求出使x = x0 + kb'落在区间[x1,x2]内的k的范围和使y = y0-ka'落在区间[y1,y2]内的k的范围，取交集就是答案。
9.费马小定理
如果p是质数，并且gcd(a,p) = 1,那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
由这个式子我们可以知道，a关于p的逆元就是a^(p-2) % p，用快速幂就好，证明从略。
10.快速幂
快速幂用了一个倍增的思想，我把它放在Part 3.
11.排列组合
11.1排列
排列数指的是从n个数中任取m个元素排成有顺序的一列，这一列称为一个排列，所有排列总数称为排列数。
生成排列数：DFS 或 next_permutation
从n个元素里取m个成为排列记为A(n,m) （原谅打不出来）
A(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-m+1) = n!/(n-m)!
11.2组合
组合数指的是从n个数中任取m个 元素设为一组，叫做一个组合，这样所有的组合的数量就是组合数。
可以发现，排列要求元素带有顺序，而组合则不考虑顺序。
公式是C(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-m+1)/m! = n!/m!(n-m)!
组合的性质：
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)
C(n,m) = C(n,n-m)
C(n,m) = C(n,m-1)*(n-m+1)/m (m>0)
由性质3可递推某一n确定下的组合数
其实排列组合这一块有很多内容，然而。。。
我觉得我讲得再多也没高中数学选修2-3讲得明白。。。。
所以，如果有没提到的地方，请参见高中数学选修2-3。。