【数学推导】数字变换

题目描述

Alice 给了 Bob 一个数 k，求有多少个数 x，满足：从 x 的某个数位（不能是最后一位）后加一个乘号，运算得到一个数 y，使得 x−y=k。

比如：如果 k=123，那么 277 就是一个符合要求的数，因为 277−2×77=123。

Bob 觉得这个问题太难了，希望你可以帮他解决。

输入输出格式

输入格式：

一行一个整数 k，意义如上所述。

输出格式：

一行一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入样例#1： 

123

输出样例#1： 

3

输入样例#2：

2333

输出样例#2： 

9

输入样例#3： 

999999999

输出样例#3：

34

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【题解】：
这个题目也是通过讲评后我才知道这个怎么做的。
首先读一遍题目：
题目需要我们找出所有符合一种 形式的数 以一种形式等于k。
形式的数是指：X = a*(10^t) + b 
然后一种形式为： X - a * b = k

根据这个题目我们知道 K 的范围为： 1e9
我们可以枚举 10^t，t = 1,2,3……9.
我们设：t = 10^t。

然后有：a*t-a*b=k
因式分解：(a-1)*(t-b)=k-t
然后通过这个式子进行分析。
1、当k-t<0,不存在a,b，因为左边都是整数。
2、当k-t>0,可以通过根号n枚举所有k-t的因数，然后排序找出对应的a,b。
3、当k-t==0,由于t>b,∴a=1,然后b可以b<t的任意数。
注意去重：
比如100000,可能在讨论（2）时涉及了，然后计算（3）时重复了。
贴上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll k,ans,A,B,K,a,b,F;
set<ll>Ans;
vector<ll> V;
int main()
{
    scanf("%lld",&k);
    for(ll t=10 ; t<=INT_MAX ; t*=10 ){
        if( k-t > 0 ){
            K = k-t;
            //printf("%lld %lld 
",t,K);
            for(ll i=1 ; i*i<=K ; i++ ) {
                V.push_back( i );
                if( i*i != K ){
                    V.push_back( K/i );
                }
            }
            sort(V.begin(),V.end() );
            V.erase( unique( V.begin(),V.end() ), V.end() );
            for(auto A:V){
                a = A + 1 ;
                b = t - K/A;
                if( b<t && b>=0 && a*t + b - a*b == k){
                    //cout << a*t + b << endl ;
                    Ans.insert( a*t + b );
                }
            }
        }else if ( k-t == 0 ){
            F = t ;
        }
    }
    if( F ){
        //printf("###
");
        set<ll> ::iterator it1 = lower_bound(Ans.begin(),Ans.end(),F);
        set<ll> ::iterator it2 = lower_bound(Ans.begin(),Ans.end(),2*F);
        //it2--;
        Ans.erase(it1,it2);
    }
    ans = Ans.size() + F;
    printf("%lld
",ans);
    return 0 ;
}