算法课-母函数专题

【生成函数解析】

https://blog.csdn.net/Z_sea/article/details/86529635

由于CSDN更新过好几个版本，导致一些图片的丢失，但一点都不影响解析生成函数。

 

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利用D题的选课时间作为模版。

给定m个物品的价格和数量，构成价值为n的方案数

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 50 ;
int n , m ;
int a[N] , b[N] , c[N] ;
int f[N] , tmp[N] ;
int main()
{
    int T ;
    scanf("%d",&T);
    while( T-- ){
                //初始化
        for( int i = 0 ; i < N ; i++ )  tmp[i] = f[i] = 0 ;
        f[0] = 1; 
        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        int Highest_Pow = 0 , Limit;
        //枚举物品
        for( int i = 1 ; i <= m ; i++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);

            Limit = min( Highest_Pow , n );

            //枚举第一个括号中的次幂
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                //枚举第二个括号中的个数,通过它的价值a[i],枚举每一项指数 应为k*a[i]
                for( int k = 0 ; j + k * a[i] <= n && k <= b[i] ; k++ ){
                    tmp[ j + k*a[i] ] += f[j];
                }
            }

            //更新最高次幂
            Highest_Pow += a[i] * b[i] ;
            Limit = min( Highest_Pow , n );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                f[j] = tmp[j] ;
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 50 ;
int n , m ;
int a[N] , b[N] , c[N] ;
int f[N] , tmp[N] ;
int main()
{
    int T ;
    scanf("%d",&T);
    while( T-- ){
                //初始化
        for( int i = 0 ; i < N ; i++ )  tmp[i] = f[i] = 0 ;
        f[0] = 1;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        int Highest_Pow = 0 , Limit;
        //枚举物品
        for( int i = 1 ; i <= m ; i++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);

            Limit = min( Highest_Pow , n );

            //枚举第一个括号中的次幂
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                //枚举第二个括号中的个数,通过它的价值a[i],枚举每一项指数 应为k*a[i]
                for( int k = 1 ; j + k * a[i] <= n && k <= b[i] ; k++ ){
                    tmp[ j + k*a[i] ] += f[j];
                }
            }

            //更新最高次幂
            Highest_Pow += a[i] * b[i] ;
            Limit = min( Highest_Pow , n );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                f[j] += tmp[j] ;
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}

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A - Holding Bin-Laden Captive!

【题目来源】HDU - 1085

【题意】
        给定n1,n2,n3分别代表硬币面值为1，2，5元的数量
        请输出由这些硬币 凑不成的最小正整数？
    例如：
        有1个面值为1元的硬币。
        有1个面值为2元的硬币。
        有3个面值为5元的硬币。
        
        即可构成：{1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,15,16,17,18}
        集合中凑不成的最小正整数为 4.

【题解】
        基本上就是母函数（生成函数）的模板题
        根据题目的样例构造出
        ( x^0 + x^1 ) * ( x^0 + x^2 + x^4 ) * ( x^0 + x^5 + x^10 + x^15 )
        请大家用草稿纸手动算一下上述式子。
        
        你就会发现能凑出来的数字会是拥有指数为{1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,15,16,17,18}的多项式。而我们想要找的答案只需要遍历哪个指数未出现过即可。
        
        这种题型被称为：普通型的母函数（生成函数）
        其特点为：给定 ”面值” 和 “数量” 问其“构成的方案数”或“能否构成”。
        而这个题目是：固定面值，给出数量，问起能否构成。
        
        算法复杂度O(n^3)
        计算过程就是模拟多项式乘法，（）*（）两个多项式之间进行乘法运算。

#include<stdio.h>
const int N = 8e3 + 10 ;
int weight[3] = { 1 , 2 , 5 };
int num[3] ;
int f[N] ;
int tmp[N] ;
int main()
{
    while( scanf("%d%d%d",&num[0],&num[1],&num[2]) , (num[0]+num[1]+num[2]) ){
        //初始化
        f[0] = 1 ;
        for( int i = 1 ; i < N ; i++ ) f[i] = 0 ;

        //枚举第一个括号
        for( int i = 1 ; i <= num[0] ; i++ ) f[i] = 1 ;

        int Highest_Pow = 0 ;

        //第一层枚举 硬币种类
        for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ ){
            //第二层枚举  第一个括号中 从0次幂到最高次幂
            for( int j = 0 ; j <= Highest_Pow ; j ++ ){
                //第三层枚举 第二个括号中的数量
                for( int k = 1 ; k <= num[i] ; k++ ){
                    f[ j + k * weight[i] ] |= f[j];
                }
            }
            //更新最高次幂
            Highest_Pow += weight[i] * num[i] ;
        }

        for( int i = 1 ; i < N ; i++ ){
            if( !f[i] ){
                printf("%d
",i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

扩展做法-多重背包
    我们习惯做的是01背包问题，多重背包仅仅是多增加了一个维度："物品数量"
    任何"普通型母函数问题" 都可以转化成 "多重背包问题"
    多重背包模型会比母函数更加好写。
    问题转化是一样的，都是根据生成函数的特点而设计。
    仅仅是计算的角度不一样。    
    同时，多重背包灵活性体现在复杂度
    朴素做法 O(N^3) -> 二进制优化 O(N * V *logN ) -> 单调队列优化 O(N * V)

//扩展（多重背包做法-朴素做法）
#include<stdio.h>
const int N = 8e3 + 20 ;

int f[N];
int num[3];
int weight[3] = { 1 , 2 , 5 };

int main()
{
    while( scanf("%d%d%d",&num[0],&num[1],&num[2]) , ( num[0] + num[1] + num[2] ) ){
        f[0] = 1 ;
        for( int i = 1 ; i < N ; i++ ) f[i] = 0 ;

        int V = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5 ;
                //枚举物品个数
        for( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ ){
            //枚举每个物品的重量
            for( int j = V ; j >=  weight[i]; j -- ){
                //在j容量限制下枚举物品个数，同时进行01背包处理
                for( int k = 1 ; k <= num[i] ; k++ ){
                    if( j - k * weight[i] >= 0 ){
                        f[j] |= f[j - k * weight[i]] ;
                    }
                }
            }
        }
        
        for( int i = 1 ; i < N ; i++ ){
            if( !f[i] ){
                printf("%d
",i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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B - Big Event in HDU

【题目来源】HDU - 1171

【题意】
    给定n个物品的“价值”，“数量”
    请问如果尽可能划分出两堆物品 ，要求 两堆物品间价值之差 尽可能小。
    例如：
    有1个物品价值为10
    有2个物品价值为20
    有1个物品价值为30    
    通过划分两堆物品 {10,30} = 40 ，{20,20} = 40
    所以答案为 40 40
    划分两堆物品如果价值不同，请先输出价值大的一堆，后输出价值小的一堆

【生成函数做法】
    和上一个题目类似
    给定物品的价值和数量，问是否存在尽可能靠近total/2的值。
    首先处理好输入，初始化工作。
    然后进行生成函数模板代入。
    最后遍历，找出尽可能靠近total／2的情况

#include<cstdio>
const int N = 5e6 + 10;
const int M = 1e3 + 10;
int f[N] ;
int num[M] , w[M] ;
int main()
{
    int n , Highest_Pow , total ;
    while( scanf("%d",&n) ,( n>0 ) ){
        total = 0 ;
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            scanf("%d%d",&w[i] , &num[i] );
            total += w[i] * num[i] ;
        }
        for (int i = 1 ; i <= total / 2 ; i++ ) f[i] = 0 ;
        f[0] = 1 ;
        Highest_Pow = 0 ;

        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            for( int j = 0 ; j <= Highest_Pow ; j ++ ){
                for( int k = 1 ; k <= num[i] ; k++ ){
                    f[j+k*w[i]] |= f[j] ;
                }
            }
            Highest_Pow += w[i] * num[i] ;
        }
        for( int i = total/2 ; i >= 0 ; i--){
            if( f[i] ){
                printf("%d %d
",total-i,i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0 ;
}

【01背包做法】
    经典的背包问题，01背包
        
    首先限制背包容量为总容量的一半。
    然后把所有的物品离散化，同时进行01背包处理后。
    答案为： {total - f[V] , f[V]}

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 5e6 + 10 ;
const int M = 1e3 + 10 ;
int f[N];
int w[M];
int num[M];
int main()
{
    int n , V , total ;
    while( scanf("%d",&n) , ( n > 0 ) ){
        
        total = V = 0 ;
        
        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            scanf("%d%d",&w[i] , &num[i] );
            total += w[i] * num[i] ;
        }
        V = total / 2 ;

        for( int i = 0 ; i <= V ; i ++ ) f[i] = 0 ;

        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            while( num[i]-- ){
                for( int j = V ; j >= w[i] ; j-- ){
                    f[j] = max( f[j] , f[j-w[i]] + w[i] );
                }
            }
        }
        
        printf("%d %d
",total - f[V] , f[V] );
    }
    return 0;
}

---

C - Square Coins

【题目来源】HDU - 1398

【题意】
    给定价值为1，4，9……289（17^2）的硬币
    给定一个值，请问有多少种构造的方法？
    例如：
        10 = 1 + 1 …… + 1
        10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 
        10 = 1 + 1 + 4 + 4
        10 = 1 + 9
    答案就是4

【生成函数做法】
    这个题目和课堂上讲的例题一模一样，仅仅是面值发生改变，其余的都没有变。
    该题的普通母函数的结构为 "面值固定"，"数量不定"，求解构成某个数值的方案数？

#include<cstdio>
using namespace std;
const int M = 305 ;
const int N = 20 ;
int f[M];
int v[N];
int tmp[M];
void Init(){
    for( int i = 0 ; i < 17 ; i++ ){
        v[i] = ( i+1 ) * ( i+1 );
    }
    f[0] = 1 ;
    for( int i = 0 ; i < 17 ; i ++ ){
        for( int j = 0 ; j <= 300 - v[i] ; j++ ){
            for( int k = 1 ; j + k*v[i] < M ; k++ ){
                tmp[ j+k*v[i] ] += f[j] ;
            }
        }
        for(int j = 1 ; j <= 300 ; j++ ){
            f[j] += tmp[j] ;
            tmp[j] = 0;
        }
    }
}
int main(){

    int n ;
    Init();
    while( scanf("%d",&n) , n > 0 ){
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}

【完全背包做法】
    完全背包 指的是 “物品数量无限”的背包问题
    这个题目其实就是和之前生成函数有所区别在于个数不再受限。
    所以问题可以转变成可取无限多次的背包问题->"完全背包"

#include<cstdio>
using namespace std;
const int M = 305 ;
const int N = 20 ;
int f[M];
int v[N];
int tmp[M];
void Init(){
    for( int i = 0 ; i < 17 ; i++ ){
        v[i] = ( i+1 ) * ( i+1 );
    }
    f[0] = 1 ;
    for( int i = 0 ; i < 17 ; i ++ ){
        for( int j = v[i] ; j <= 300 ; j++ ){
            f[j] += f[j-v[i]];
        }
    }
}
int main(){

    int n ;
    Init();
    while( scanf("%d",&n) , n > 0 ){
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}

---

D - 选课时间

题目链接：HDU - 2079

【题意】
    给定n门课，每一门课都有相应的学分和数目
    请问构成学分为m的方案有多少种？

【母函数做法】
    和课堂上例题"整数划分问题"一模一样。
    给定“学分”和“数量” 求解某学分的方案数

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 50 ;
int n , m ;
int a[N] , b[N] , c[N] ;
int f[N] , tmp[N] ;
int main()
{
    int T ;
    scanf("%d",&T);
    while( T-- ){

        for( int i = 0 ; i < N ; i++ )  tmp[i] = f[i] = 0 ;
        f[0] = 1 ;

        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        for( int i = 1 ; i <= m ; i++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
            for( int j = 0 ; j <= n ; j++ ){
                for( int k = 1 ; j + k * a[i] <= n && k <= b[i] ; k++ ){
                    tmp[ j + k*a[i] ] += f[j];
                }
            }
            for( int j = 0 ; j <= n ; j++ ){
                f[j] += tmp[j] ;
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0;
}

【多重背包做法】
    给定n个物品，给定物品的“价值”和”数量“
    请问构成价值为n的方案数有多少？

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 50 ;
int f[N] ; 
int a[N] , b[N] ;
int n , m;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for( int i = 0 ; i < m ; i++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        }
        
        for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) f[i] = 0 ;
        f[0] = 1 ;
        for( int i = 0 ; i < m ; i ++ ){
            for( int j = n ; j >= a[i] ; j--){
                for( int k = 1 ; k <= b[i] && j - k*a[i] >= 0 ; k++ ){
                    f[j] += f[j-k*a[i]];
                }
            }
        }
        printf("%d
",f[n]);
    }
    return 0 ;
} 

---

E - 找单词

题目来源：HDU - 2082

【题意】
    给定26个字母的数量，每个字母的权值 按顺序排。
    A - 1 ， B - 2 …… Z - 26    
    请问由这些数量字母组成的单词价值<=50 的方案数？

【普通型生成函数做法】
    根据题目所给定的数量进行构造生成函数。
    然后模拟多项式乘法，累加系数[1,50]的方案数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 30 ;
const int M = 50 ;
int f[M+10] ;
int tmp[M+10] ;
int num[N];
int main()
{
    int T ;
    scanf("%d",&T);
    while( T-- ){
        for( int i = 1 ; i <= 26 ; i++ )    scanf("%d",&num[i]);
        for( int i = 0 ; i <= M ; i++ ) f[i] = 0 ; 
        f[0] = 1 ; 
        int Highest_Pow = 0 , Limit ;
        for( int i = 1 ; i <= 26 ; i++ ){
            Limit = min( Highest_Pow , M );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                for ( int k = 1 ; k <= num[i] && j + k * i <= M ; k ++ ){
                    tmp[j+k*i] += f[j];
                }
            }
            Highest_Pow += num[i] * i ;
            Limit = min( Highest_Pow , M );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j ++ ){
                f[j] += tmp[j];
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }
        int ans = 0 ;
        for( int i = 1 ; i <= M ; i++ ){
            ans += f[i] ;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

【多重背包做法】
    给定物品为数量，价值固定，求出价值之和<=50的方案数

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 55; 
const int M = 50;
int f[N],num[N];

int main()
{
    int T; 
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        for( int i = 1 ; i <= 26 ; i ++ ) scanf("%d",&num[i]);
        for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )    f[i] = 0 ;
        
        f[0] = 1 ;
        for( int i = 1 ; i <= 26 ; i ++ ){
            for( int j = M ; j >= i ; j-- ){
                for( int k = 1 ; k <= num[i] && j - k * i >= 0 ; k ++ ){
                    f[j] += f[j-k*i];
                }
            }
        }
        
        int ans = 0; 
        for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ ){
            ans += f[i];
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

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F - Crisis of HDU

【题目来源】HDU - 2110

【小结】
    这个题意很难读懂。
    给定n个物品 的价值及数量
    请问  价值为总价值的三分之一 的 方案数？

【题解】
    给出物品的价格及数量。
    首先判断 总价值是否能被3整除。同时计算完后，如果方案数为0还是输出"sorry"。
        
    然后进行套母函数模板或者多重背包的模板即可
【注意】
    取模运算
    (a + b) % mod = a % mod + b % mod
    所以过程中进行模运算不影响最后答案在mod意义下的结果

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int mod = 10000;
const int N = 1e3+10;

int f[N],a[N],b[N],tmp[N];
int n ;

int main()
{
    while( scanf("%d",&n) , (n != 0) ){
        int total = 0 ;
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
            total += a[i] * b[i] ;
        }

        if( total % 3 != 0 ){
            printf("sorry
");
            continue ;
        }

        int Highest_Pow = 0 , Limit ;
        for( int i = 1 ; i <= total / 3 ; i ++ ) f[i] = 0 ;
        f[0] = 1 ;
        for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            Limit = min( Highest_Pow , total / 3 );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j ++ ){
                for( int k = 1 ; k <= b[i] && j + k * a[i] <= total / 3 ; k ++ ){
                    tmp[ j + k*a[i] ] = ( tmp[j+k*a[i]] + f[j] ) % mod ;
                }
            }

            Highest_Pow += a[i] * b[i] ;
            Limit = min( Highest_Pow , total / 3 );
            for( int j = 0 ; j <= Limit ; j++ ){
                f[j] = (f[j] + tmp[j]) % mod ;
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }

        if( f[ total / 3 ] ){
            printf("%d
",f[total/3]);
        }else{
            printf("sorry
");
        }
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
const int N = 1e3 + 10; 
const int mod = 1e4 ;
int f[N] , a[N] , b[N] ;

int main()
{
    int n ; 
    while( scanf("%d",&n) , n ){
        int sum = 0 ;
        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
            sum += a[i] * b[i] ;
        }
        for( int i = 1 ; i <= sum / 3 ; i++ ) f[i] = 0; 
        f[0] = 1 ;

        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            for( int j = sum / 3 ; j >= a[i] ; j --){
                for( int k = 1 ; k <= b[i] && j - k * a[i] >= 0 ; k++ ){
                    f[j] = ( f[j] + f[j-k*a[i]] ) % mod;
                }
            }
        }
        if( sum % 3 || ( sum % 3 == 0 && f[sum/3] == 0 ) ){
            printf("sorry
");
        }else{
            printf("%d
",f[sum/3]);
        }
    }
    return 0;
}

---

G - Fruit

【题目来源】HDU - 2152

【题意】
    题目意思是说：价值全为1的物品，然后给出n种不同物品，以及对应的数量。
    但是这个数量是一个范围的概念[A,B]，即物品的数量必须是[A,B]之间
    求出组成价值为m的方案数

【题解】
    如果这道题用母函数做，只需要修改题目中所固定的数量即可。
        
    但如果用多重背包来做的话，背包问题默认必须是从某个起始点开始，也就是从0开始进行递推累加方案数。但是如果这个题目的话不能直接套用，但是我们可以技巧性地把问题转移到从0开始。
    数量从[A,B]->[0,B-A]，这样的话对应的m也需要减去各组物品的A.
    然后套用模版即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10 ;
int f[N] , tmp[N] ;
int main()
{
    int n , m  , A , B ;
    while( scanf("%d%d",&n,&m) != EOF ){
        memset( f , 0 , sizeof f );
        scanf("%d%d",&A,&B);
        for( int i = A ; i <= B ; i++ ) f[i] = 1 ;
        for( int i = 1 ; i < n ; i ++ ){
            scanf("%d%d",&A,&B);
            for( int j = 0 ; j <= m ; j++ ){
                for( int k = A ; k <= B && j + k <= m ; k ++ ){
                    tmp[j+k] += f[j];
                }
            }
            for( int j = 0 ; j <= m ; j++ ){
                f[j] = tmp[j];
                tmp[j] = 0 ;
            }
        }
        printf("%d
",f[m]);
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int N = 205;
int f[N] , A[N] , B[N];
int main()
{
    int n , m ;
    while( scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){
        memset( f , 0 , sizeof f );
        f[0] = 1; 

        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);
            m -= A[i];
            B[i] -= A[i];
        }

        for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){
            for( int j = m ; j >= 1 ; j -- ){
                for( int k = 1 ; k <= B[i] && j - k >= 0 ; k ++ ){
                    f[j] += f[j-k];
                }
            }
        }
        if( m < 0 ) printf("0
");
        else printf("%d
",f[m]);
    }
    return 0 ;
}