数学一本通——K. 点与三角形关系（叉积求面积）

Description
已知一个平面坐标系中三角形三个点A,B,C的坐标，判断另外一个点D是否在三角形内（点在三角形边上也认为在三角形内）

Input
输入共四行，每行两个数，前三行表示A,B,C的坐标，第四行为D的坐标。

Output
输出一个字符串，“in”表示点D在三角形ABC内，“out”表示点D在三角形ABC外。

Samples
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Output
in

思路：
运用三角形的面积关系来判断点与三角形的关系。
假设点为P，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
分别计算三角形ABC,ABP,ACP,BCP的面积：
如果：
S(ABC)=S(ABP)+S(ACP)+S(BCP)
则说明点在三角形内或在三角形的边上。
所以问题就转化成了已知三角形的三个点坐标求三角形的面积。
在网上百度了几种方法，都有精度误差：

double cul(node a,node b,node c){
    double x1=a.x,y1=a.y;
    double x2=b.x,y2=b.y;
    double x3=c.x,y3=c.y;
    return x1*y2-x1*y3+x2*y3-x2*y1+x3*y1-x2*y2;
}

double cul(node a,node b,node c)
{
    double x1=a.x,y1=a.y;
    double x2=b.x,y2=b.y;
    double x3=c.x,y3=c.y;
    double aa=sqrt( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) );
    double bb=sqrt( (x3-x2)*(x3-x2) + (y3-y2)*(y3-y2) );
    double cc=sqrt( (x1-x3)*(x1-x3) + (y1-y3)*(y1-y3) );
    double pp=(aa+bb+cc)/2;
    double S=sqrt( pp*(pp-aa)*(pp-bb)*(pp-cc));
    return S;
}

然后张巨说他要是能用三角形的面积过了就“打死我”。
张巨的思路是用叉积来求三角形的面积。
根据高中知识，假设三角形的两个边长分别为a,b，两边的夹角为c，那么三角形的面积为$a\ast b\ast sinc\ast \frac{1}{2}$
而叉积的定义是两个矢量模的乘积再乘夹角正弦，转为坐标计算就可以了。
代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll>PLL;
typedef pair<int,int>PII;
typedef pair<double,double>PDD;
#define I_int ll
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
#define read read()
#define closeSync ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define multiCase int T;cin>>T;for(int t=1;t<=T;t++)
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define perr(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
#define PI acos(-1)
const double eps=1e-10;
struct node
{
    double x,y;
    node operator - (node &s){
        return (node){x-s.x,y-s.y};
    }
};
double operator*(node a,node b){
    return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
double cul(node a,node b,node c){
    return fabs((b-a)*(c-a)/2);
}
int main()
{

    node a,b,c,d;
    cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y>>d.x>>d.y;
    double abc=cul(a,b,c);
    double abd=cul(a,b,d);
    double acd=cul(a,c,d);
    double bcd=cul(b,c,d);
    if(abd+acd+bcd==abc) puts("in");
    else puts("out");
    return 0;
}