博弈(game)

目录

• 前言
• 题目
• 讲解
  • part1 35pts
  • part2 45pts
  • part3 65pts
  • part4 100pts
• 代码

前言

这题要是放NOIP说不定就让我退役了

题目

讲解

为了方便，我们令最终剩下的数为(s)

part1 35pts

首先我们用记忆化搜索轻松写出(O(N^2))的算法

定义(dp[w][i][j])表示此时左端点为(i)，右端点为(j)，此时是(w(0/1))人取的时候的最优取值

代码就不给出了

part2 45pts

我们考虑(K=0)小B没有女朋友的时候答案应该如何快速求出

考虑分奇偶讨论

1.如果(N)为奇数

(s)一定出自中间三个数，令他们依次为(t_1,t_2,t_3)

考虑如果答案不是出自中间三个数

• 小A想取左边或者右边的数，这样一定对小B不优，小B就会在对面取数，中间的数始终不变，答案一定在中间三个数中产生
• 小B想取左边或者右边的数，这样一定对小A不优，从第三次取数开始，类似的，小A也会在小B的对边取数，这样答案也一定在中间三个数中产生

当最后剩下(t_1,t_2,t_3)三个数的时候，一定是小A取数，如果(t_2)最小，那么小B一定可以使它被取到

如果(t_2)不是最小，小A自己不可能取走(t_1,t_3)中一个最大的数，他一定会取走最小的数，剩下一个次大值和最

大值，而小B一定会取走最大值，那么(s)即为次大值

2.如果(N)为偶数

类似的，(s)一定出自中间的(t_1,t_2)两个数

此时轮到小A取数，取走最小值，剩下最大值

于是我们就可以(O(1))求出(K=0)时的答案了

我称这个结论为中心论

part3 65pts

笔者在考场上就只码出了这个部分分，结果艹过了70pts...

明显part2推论还可以拓展为求剩下区间为([l,r])的时候，小A先取数时的(s)

对应代码即为：

int Get(int l,int r)
{
	if(l == r) return a[l];
	if((r-l+1) & 1) 
	{
		int t1 = (l+r-1)/2,t2 = (l+r-1)/2+1,t3 = (l+r-1)/2+2;
		t[1] = a[t1]; t[2] = a[t2]; t[3] = a[t3];
		if(t[2] < t[1] && t[2] < t[3]) return t[2];
		else {sort(t+1,t+3+1);return t[2];}
	}
	else 
	{
		int t1 = (l+r-1)/2,t2 = (l+r-1)/2+1;
		return Max(a[t1],a[t2]);
	}
}

当然这部分的代码也可以替换part1的记忆化搜索，毕竟这是(O(1))的查询，对于每个(K)求答案时可以做到(O(N))，共(O(N^2))

我们对于每个(K)可以(O(N))枚举提前取数区间求出

共(O(N^2))，如果(Kge 0)，即为(O(N))

part4 100pts

现在我们考虑拿走边上的数会造成什么影响

由于我们分奇偶讨论，拿走奇数个的时候会对奇偶性造成影响，而奇偶性不同的时候求(s)的方法不同，不能合起来讨论，所以我们试图分析拿走偶数个的时候会发生什么

考虑拿走两个数

如果一边拿走一个数，中心不会发生改变！所以(s)并不会改变！

如果单边拿走两个数，中心发生偏移，但是偏移不多，我们可以用两次(Get)操作求出这左右两种取数后的(s)，与前一种取数方案的(s)取一个最大值，即为当前(K)的答案

于是可以(O(N))递推

但是注意，当(K=N-1)的时候，此时我们的中心论已经不成立了，因为所有数都可能成为答案，需要特判

代码

int Get(int l,int r)
{
	if(l == r) return a[l];
	if((r-l+1) & 1) 
	{
		int t1 = (l+r-1)/2,t2 = (l+r-1)/2+1,t3 = (l+r-1)/2+2;
		t[1] = a[t1]; t[2] = a[t2]; t[3] = a[t3];
		if(t[2] < t[1] && t[2] < t[3]) return t[2];
		else {sort(t+1,t+3+1);return t[2];}
	}
	else 
	{
		int t1 = (l+r-1)/2,t2 = (l+r-1)/2+1;
		return Max(a[t1],a[t2]);
	}
}
int ans[MAXN];
void solve_all()
{
	ans[0] = Get(1,n);
	ans[1] = Max(Get(1,n-1),Get(2,n));
    //初始化递推边界
	for(int i = 2;i < n;++ i) ans[i] = Max(ans[i-2],Max(Get(1,n-i),Get(1+i,n)));
    //O(N)递推，从i-2的状态推过来
	for(int i = 1;i <= n;++ i) ans[n-1] = Max(ans[n-1],a[i]);
    //特判，因为 "中心论" 不适用了
}
void solve()
{
	if(k >= 0)
	{
		int len = n-k,Ans = 0;
		for(int i = 1;i+len-1 <= n;++ i)
			Ans = Max(Ans,Get(i,i+len-1));
		Put(Ans);
        //当然这并没有必要，只是常数优化
	}
	else
	{
		solve_all();
		for(int i = 0;i < n;++ i)
			Put(ans[i],' ');
	}
}

int main()
{
//	freopen("game3.in","r",stdin);
//	freopen("mine.out","w",stdout);
	n = Read(); k = Read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = Read();
	solve();
	return 0;
}

个人代码有些冗长，如果你不想看的话可以康康下面的std

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200005;
int n,k,a[N],ans[N];
int gt(int l,int r)
{
	int mid=(l+r)/2,len=r-l+1;
	if(len&1)return max(min(a[mid-1],a[mid]),min(a[mid],a[mid+1]));
	return max(a[mid],a[mid+1]); 
}
int main()
{
//	freopen("game.in", "r", stdin);
//	freopen("game.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	ans[0]=gt(1,n);ans[1]=max(gt(1,n-1),gt(2,n));
	for(int i=2;i<n;i++)ans[i]=max(ans[i-2],max(gt(1,n-i),gt(i+1,n)));
	for(int i=1;i<=n;i++)ans[n-1]=max(ans[n-1],a[i]);
	if(k>=0)printf("%d
",ans[k]);
	else for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}