[CF1523F] Favorite Game

前言

妙妙题！

题目

CF

洛谷

题目大意：

现在有一只酷酷的柒处在二维平面上，上面有 (n) 个传送门和 (m) 个有刺杀地点。柒每秒可以移动到相邻的一格(四个方向)或者不动，如果 (t_i) 时刻柒在某一个刺杀地点，那么他就可以完成这个刺杀任务(没听过柒还能失手)。

作为玄武国的刺客，他有权在任意地点传送到传送门 (i)，只不过传送门是新修建的，所以需要走到传送门 (i) 激活之后才能使用。

作为首席刺客，他的行踪变幻莫测，所以他初始位置是可以任意选择的。

柒最多可以完成多少个刺杀任务？

(0le nle 14;1le mle 100;1le x_i,y_ile 10^6;1le t_ile 10^9.)

夹带私货。

讲解

我们把传送门和刺杀地点统称为地点，把 (t_i) 称为刺杀时间。

当然是考虑状压DP。

朴素一点，我们先令 (dp_{s,i,j}) 表示经过的传送门集合为 (s)，现在在第 (i) 个地点，完成了 (j) 个任务 的最小时间。

状态数就达到了惊人的 (2^n imes (n+m) imes m)，显然无法通过。

那么如果我们把传送门和刺杀地点分别考虑呢？

传送门

如果柒身处传送门，显然我们不需要知道他在哪个传送门，剩余状态：传送门集合、完成任务数。转移的是最小时间。

刺杀地点

如果柒身处刺杀地点，他在 (t_i) 时刻一定在这个地方，那么时间可以去掉，我们的状态可以为：传送门集合、身处刺杀地点。转移的是完成的任务数。

最后的转移

这样一来，状态都少掉了一维，可以转移了，当然我们要把刺杀地点先按刺杀时间从小到大排序。

令 (f_{s,i}) 表示传送门集合为 (s)，完成任务数为 (i)，现在身处某一个传送门的最小时间。

令 (g_{s,i}) 表示传送门集合为 (s)，身处刺杀地点 (i)，可以完成的最大任务数。

为了方便，我们需要预处理一些东西：

令 (as_{s,i}) 表示传送门集合为 (s)，身处某一个传送门，到刺杀地点 (i) 所需的最小时间。

令 (po_{s,i}) 表示传送门集合为 (s)，身处某一个传送门，到传送门 (i) 所需的最小时间。

现在我们就可以愉快的转移了，共四种情况：从传送门到传送门、从传送门到刺杀地点、从刺杀地点到传送门、从刺杀地点到刺杀地点。

只需要注意时间是否合法，然后即可转移，详见代码。

时间复杂度 (O(2^n imes (n+m) imes m))。

代码

//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 14;
const int MAXM = 105;
const int MAXS = 1<<MAXN;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m,S,ans = 1;

LL Read()
{
	LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
	return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
	if(x > 9) Put1(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}

int f[MAXS][MAXM],g[MAXS][MAXM];
//portal set & the number of tasks completed : minimal time
//portal set & assassination position : maximal number of tasks completed
int as[MAXS][MAXM],po[MAXS][MAXN];//assassination & portal

struct node
{
	int x,y,t;
	bool operator < (const node &px)const{
		return t < px.t;
	}
}a[MAXN],b[MAXM];
int dis(node A,node B){return Abs(A.x-B.x)+Abs(A.y-B.y);}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n = Read(); m = Read();
	S = (1<<n); 
	for(int i = 0;i < n;++ i) a[i].x = Read(),a[i].y = Read();
	for(int i = 1;i <= m;++ i) b[i].x = Read(),b[i].y = Read(),b[i].t = Read();
	sort(b+1,b+m+1);
	for(int s = 0;s < S;++ s)
	{
		f[s][0] = INF;
		for(int i = 1;i <= m;++ i)//to assassination position
		{
			as[s][i] = f[s][i] = INF; g[s][i] = -INF;
			for(int j = 0;j < n;++ j)
				if((s>>j) & 1) as[s][i] = Min(as[s][i],dis(a[j],b[i]));
		}
		for(int i = 0;i < n;++ i)//to portal
		{
			po[s][i] = INF; 
			for(int j = 0;j < n;++ j)
				if((s>>j) & 1) po[s][i] = Min(po[s][i],dis(a[j],a[i]));
		}
	}
	for(int i = 0;i < n;++ i) f[1<<i][0] = 0;
	for(int i = 1;i <= m;++ i) g[0][i] = 1;
	for(int s = 0;s < S;++ s)
	{
		for(int i = 0;i <= m;++ i)
		{
			if(f[s][i] == INF) continue;
			for(int j = 0;j < n;++ j)
				if(!((s>>j) & 1)) 
					f[s|(1<<j)][i] = Min(f[s|(1<<j)][i],f[s][i]+po[s][j]);
			for(int j = 1;j <= m;++ j)
			{
				if(f[s][i] + as[s][j] > b[j].t) continue;
				g[s][j] = Max(g[s][j],i+1);
				ans = Max(ans,i+1);
			}
		}
		
		for(int i = 1;i <= m;++ i)
		{
			if(g[s][i] == -INF) continue;
			for(int j = 0;j < n;++ j)
			{
				if(b[i].t + Min(po[s][j],dis(b[i],a[j])) >= f[s|(1<<j)][g[s][i]]) continue;
				f[s|(1<<j)][g[s][i]] = b[i].t + Min(po[s][j],dis(b[i],a[j]));
			}
			for(int j = i+1;j <= m;++ j)
			{
				if(b[i].t + Min(as[s][j],dis(b[i],b[j])) > b[j].t) continue;
				g[s][j] = Max(g[s][j],g[s][i]+1);
				ans = Max(ans,g[s][j]);
			}
		}
	}
	Put(ans);
	return 0;
}

细节

• 答案最小值为 (1)。
• 从刺杀地点出发并不一定要使用传送门，还有直接步行的选项，注意时间要取最小值。
• (f_{s,i}) 中的 (iin[0,m]) 而不是 ([0,n])。