[loj3342]制作菜品

当$n-1le m$，不妨令$d_{1}le d_{2}le...le d_{n}$，则$(n-1)kle mk=sum_{i=1}^{n}d_{i}le d_{1}+(n-1)d_{n}$

将这个拆成两部分，即$(n-2)k+k$和$(n-2)d_{n}+(d_{1}+d_{n})$，由于后者大于等于前者，所以两项中必然有一项大于等于前者，容易发现一定存在$kle d_{1}+d_{n}$

那么就可以不断贪心将$d_{1}$和$d_{n}$匹配，每一次必然会至少消除一个数，而最后一次因为总和恰好为$mk$所以必然全部消除

当$m=n-2$，此时合法当且仅当存在一个集合$Ssubset {1,2,...,n}$使得$sum_{iin S}d_{i}=(|S|-1)k$

证明：充分性，如果存在，将两部分分开处理，即有解且已构造得出

必要性，可以证明若存在合法解，必然存在一组使得每次操作使至少一个点变为$0$（显然消除掉一定更优）

构造：将每一个点向消除掉自己的点连无向边，显然这张图不存在大于2的环（考虑环上操作的先后顺序即可）

因此即去除掉重边后，这张图是一棵森林且有至少2棵树（否则有$n-1$次操作），其中任意一棵子树即可作为集合$S$

考虑怎么求出这个集合$S$，暴力$dp$令$f[i][j][k]$表示前$i$个点中选$j$个点和能否为$k$，复杂度为$o(n^{3}k)$无法通过

如何使得其与$|S|$无关，即$S$需满足$sum_{iin S}d_{i}-k=-k$，同时权值范围仅变为$[-nk,nk]$，因此复杂度降为$o(n^{2}k)$

问题即一个01背包的存在性判断，可以用$bitset$来优化，复杂度降为$o(frac{n^{2}k}{32})$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
set<pair<int,int> >s;
int t,n,m,k,d[N],vis[N];
bitset<N*N*20>f[N];
void work(int m){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=(*s.begin()).second;
        s.erase(s.begin());
        if (d[x]>=k){
            printf("%d %d",x,k);
            d[x]-=k;
            if (d[x])s.insert(make_pair(d[x],x));
        }
        else{
            int y=(*(--s.end())).second;
            s.erase(--s.end());
            printf("%d %d %d %d",x,d[x],y,k-d[x]);
            d[y]-=k-d[x];
            if (d[y])s.insert(make_pair(d[y],y));
            d[x]=0;
        }
        if (i!=m)printf("
");
    }
}
int main(){
    freopen("dish.in","r",stdin);
    freopen("dish.out","w",stdout);
    scanf("%d",&t);
    bool flag=0;
    while (t--){
        if (flag)printf("
");
        flag=1;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
        if (n-1<=m){
            for(int i=1;i<=n;i++)s.insert(make_pair(d[i],i));
            work(m);
            continue;
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=0;i<=n;i++)f[i].reset();
        f[0][n*k]=1;
        bool flagg=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            f[i]=f[i-1];
            if (d[i]>=k)f[i]|=(f[i-1]<<d[i]-k);
            else f[i]|=(f[i-1]>>k-d[i]);
            if (f[i][(n-1)*k]){
                flagg=1;
                for(int j=i,t=(n-1)*k;j;j--)
                    if (f[j-1][t-(d[j]-k)]){
                        vis[j]=1;
                        t-=d[j]-k;
                    }
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    if (vis[j])s.insert(make_pair(d[j],j));
                work(s.size()-1);
                printf("
");
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    if (!vis[j])s.insert(make_pair(d[j],j));
                work(s.size()-1);
                break;
            }
        }
        if (!flagg)printf("-1");
    }
    return 0;
}