[loj3500]矩阵游戏

为了方便，令$a_{i,j}$的下标范围为$[0,n]$和$[0,m]$，$b_{i,j}$的下标范围为$[1,n]$和$[1,m]$

当确定$a_{i,0}$和$a_{0,j}$后，即可通过$b_{i,j}$来确定$a_{i,j}$，具体的有
$$
a_{i,j}=(-1)^{i+j}sum_{1le xle i,1le yle j}(-1)^{x+y}b_{x,y}+(-1)^{j}a_{i,0}+(-1)^{i}a_{0,j}-(-1)^{i+j}a_{0,0}
$$
由于在$i=0$或$j=0$时其也满足该式子，因此现在的条件变为：构造任意整数$a_{i,0}$和$a_{0,j}$，使得对于任意$i$和$j$（符合下标范围），上述式子计算得到后的结果在$[0,V]$中（其中$V=10^{6}$）

提出$(-1)^{i+j}$，再令$B_{i,j}=sum_{1le xle i,1le yle j}(-1)^{x+y}b_{x,y}$，即有
$$
a_{i,j}=(-1)^{i+j}(B_{i,j}+(-1)^{i}a_{i,0}+(-1)^{j}a_{0,j}-a_{0,0})
$$
令$x_{i}=(-1)^{i}a_{i,0}-a_{0,0}$和$y_{i}=(-1)^{i+1}a_{0,i}$，即$a_{i,j}=(-1)^{i+j}(B_{i,j}+x_{i}-y_{j})$

同时，条件考虑对$i+j$奇偶性分类讨论，即：

1.若$i+j$为偶数，则$-B_{i,j}le x_{i}-y_{j}le V-B_{i,j}$

2.若$i+j$为奇数，则$B_{i,j}le y_{j}-x_{i}le V+B_{i,j}$

对$x_{i}$和$y_{i}$这$n+m+2$个变量求差分约束即可，具体来说令$d_{i}$表示第$i$个变量的值，限制都可以转换为$d_{i}le d_{j}+x$，那么连边$(i,j,x)$后求最短路即满足此性质

由于有负权，需要spfa，最坏时间复杂度为$o(T(n+m)^{3})$

求出$x_{i}$和$y_{i}$后，即有$a_{i,j}=(-1)^{i+j}(B_{i,j}+x_{i}-y_{j})$，输出即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 605
#define V 1000000
#define ll long long
struct Edge{
    int nex,to;
    ll len;
}edge[N*N];
queue<int>q;
int E,t,n,m,head[N],vis[N],sum[N];
ll d[N],b[N][N];
void add(int x,int y,ll z){
    edge[E].nex=head[x];
    edge[E].to=y;
    edge[E].len=z;
    head[x]=E++;
}
bool spfa(){
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    d[0]=0;
    q.push(0);
    vis[0]=1;
    while (!q.empty()){
        int k=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
            if (d[edge[i].to]>d[k]+edge[i].len){
                d[edge[i].to]=d[k]+edge[i].len;
                if (!vis[edge[i].to]){
                    q.push(edge[i].to);
                    vis[edge[i].to]=1;
                }
                if (++sum[edge[i].to]>n+m)return 0;
            }
        vis[k]=0;
    }
    return 1;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        n--,m--;
        E=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++){
                scanf("%lld",&b[i][j]);
                if ((i+j)&1)b[i][j]*=-1;
                b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
            }
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=m;j++)
                if ((i+j)&1){
                    add(i,j+n+1,V+b[i][j]);
                    add(j+n+1,i,-b[i][j]);
                }
                else{
                    add(j+n+1,i,V-b[i][j]);
                    add(i,j+n+1,b[i][j]);
                }
        if (!spfa()){
            printf("NO
");
            continue;
        }
        printf("YES
");
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=m;j++)
                if ((i+j)&1)printf("%lld ",d[j+n+1]-d[i]-b[i][j]);
                else printf("%lld ",b[i][j]+d[i]-d[j+n+1]);
            printf("
");
        }
    }
}