一类与数位相关的计数问题

$f colon mathbb{Z}_{>0} o {0, 1}$ 是关于正整数的十进制表示的函数 。

给你一个正整数 $N$，求 $sum_{i=1}^{N} f(i)$。

记号

$x$ 是正整数。

用 $|x|$ 表示 $x$ 的十进制表示的位数，例如 $|100| = 3$。
用 $x_i$ 表示 $x$ 的十进制表示里从左往右第 $i$ 个数字，$i$ 从 $1$ 开始；例如 $100_1 = 1$，$100_2 = 0$。
用 $p(x, n)$ 表示 $x$ 的前 $n$ 个数字组成的数，即 $p(x, n) := floor{x / 10^{|x| - n}}$，例如 $p(1234, 2) = 12$。
用 $S(x, n)$ 表示 $sum_{i = x cdot 10^n} ^{(x + 1) cdot 10^{n} - 1 }
f(i)$，例如 $S(12, 2) = sum_{i = 1200}^{1299} f(i)$。
用 $T(n)$ 表示 $sum_{i = 10^{n - 1}}^{10^{n} -1} f(i)$，例如 $T(2) = sum_{i = 10}^{99} f(i)$。

采用上述符号，我们有
egin{equation*}
egin{split}
sum_{i=1}^{N} f(i) = f(N) + sum_{i = 1}^{|N| - 1} T(i) + sum_{i = 1}^{N_1 - 1} S(i, |N| - 1) \ + sum_{i = 1}^{|N| - 1} sum_{j = 0}^{N_{i + 1}} S(10 cdot p(N, i) + j, |N| - i - 1)
end{split}
end{equation*}