如何用高斯消元法求矩阵的逆？
如何判断一个矩阵是否有非零特征值？
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则有 $A$ 有非零特征值 $iff$ $A e 0$ 。
证明：
$A$ 没有非零特征值 $iff$ $|lambda I - A| = lambda^n iff (lambda I - A) sim lambda I iff A = 0$
（$color{red}{mathsf{UPD}}$：上述证明中，第二个 $iff$ 不成立，两个方阵特征多项式相同并不能推出二者相似，第三个 $iff$ 存疑）
$forall Ainmathbb R^{m imes n}$，$A^mathrm{T}A$ 与 $AA^mathrm{T}$ 有相同的非零特征值。
证明：设 $x$ 是 $A^mathrm{T}A$ 的关于特征值 $lambda$ 的特征向量，即
[
A^mathrm{T}A x = lambda x
]
两边同时左乘 $A$ 得
[
AA^mathrm{T}(Ax) = lambda (Ax)
]
所以 $lambda$ 也是 $AA^mathrm{T}$ 的特征值。证毕。
$forall Ain mathbb{R}^{n imes n}$，$A^{mathrm{T}}A$ 为半正定阵。( ewcommand{zz}[1]{#1^{mathrm{T}}}) ( ewcommand{inprod}[2]{langle#1\,,#2 angle})
证明：
首先，不难证明，$forall Ain mathbb{R}^{m imes l}, Binmathbb{R}^{l imes n}, (AB)^mathrm{T} = B^mathrm{T}A^mathrm{T}$ 。
从而易见 $zz{A}A$ 是对称阵。
$forall xinmathbb{R}^{n}$ 有 $inprod{x}{zz{A}Ax} = zz xzz AAx = zz{(Ax)}Ax = inprod{Ax}{Ax} ge 0$ 。
所以 $zz AA$ 是半正定阵。证毕。
设 $y_1, y_2, dots, y_k inmathbb{R}^{n}$（$kle n$）线性无关。设 $xinmathbb{R}^{n}$，则有
$x, y_1, y_2, dots, y_k$ 线性相关 $iff$ $x = sum_{1le ile k} a_i y_i$，$a_iinmathbb{R}$ 。
证明：对任意不全为 $0$ 的 $a_0, a_1, a_2, dots, a_kinmathbb{R}$ 使得
[
a_0 x + sum_{1le ile k} a_i y_i = 0
]
有 $a_0
e 0$，若不然则有 $sum_{1le ile k} a_i y_i = 0$，且 $a_1, dots, a_k$ 不全为 $0$；这与 $y_1, dots, y_k$ 线性无关相矛盾。