【loj2568】【APIO2016】【学习笔记 左偏树】烟花表演

题目

一棵树,(n)个非叶子节点，编号为(1-n)，(m)个叶子节点，编号为(n+1-n+m)

每条边有边权，修改边权的代价为(|a-b|) ;

定义一个叶子的距离为到1(根节点)的边的长度之和；

求最小的修改代价使得最后所有叶子的距离相同；

$1 le M le 300000 $

题解

​ (做完这个题之后有一种为什么uoj的好评只能点一次的遗憾)

• 设(f(x))表示最终距离为(x)的答案，对于叶子是下凸的并且每段都是一次函数，归纳都满足这个性质的并设最值的区间为([L,R]) ，注意到这一段的(f'_u)为0，左边<=-1，右边>=1，考虑转移:

  [f_u(x) = sum_{v} min_{k=0}^x { f_v(x-k) + |w-k| } \ 考虑单个的v:\ f_u(x) = egin{cases} f_v(x) + w & x le L \ f_v(L) + w-(x-L) & L lt x le L+w \ f_v(L) & L+w lt x le R+w \ f_v(R) + (x-R)-w & R+w lt x \ end{cases} \也即把[0,L]向上平移w个单位，[L,R]向右移动w个单位； \中间用斜率为-1的线连接,再从R+w作一条斜率为1的射线； \所有v相加仍然是凸的 ]

  这里有详细的说明，不过建议自己脑补一下

• 斜率是连续的，设交点横坐标分别为(x_m,x_m-1,cdots,x_１,cdots)， $ x_i $ 的左边斜率 $ =-i $ ，规定(x_{m+1})为(0)

  [ans = f_1(0) + sum_{i=1}^{m}-i(x_i-x_{i+1}) = f_1(0) + sum_{i=1}^{m} -x_i \ f_1(0)=sum w ]

• 维护交点，所有(f_v)相加即交点集合合并，可以知道此时最大的斜率为(|v|-1)直接再删除那么多个交点即可；

• 用可并堆维护，我写的左偏树;

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define mk make_pair
  #define pb push_back
  #define fi first
  #define se second 
  using namespace std;
  const int N=600010;
  int n,m,ls[N],rs[N],rt[N],sz,ds[N];
  ll wv[N];
  typedef pair<int,int>pii;
  vector<pii>g[N];
  bool cmp(int a,int b){return wv[a]==wv[b]?a<b:wv[a]<wv[b];}
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int merge(int x,int y){
  	if(!x||!y)return x+y;
  	if(cmp(x,y))swap(x,y);
  	rs[x]=merge(rs[x],y);
  	if(ds[ls[x]]<ds[rs[x]])swap(ls[x],rs[x]);
  	ds[x]=ds[rs[x]]+1;
  	return x;
  }
  int main(){
  //	freopen("fireworks.in","r",stdin);
  //	freopen("fireworks.out","w",stdout);
  	ll ans=0;n=rd();m=rd();
  	for(int i=2;i<=n+m;++i){
  		int u=rd(),w=rd();
  		g[u].pb(mk(i,w));
  		ans+=w;
  	}
  	for(int i=n+1;i<=n+m;++i)rt[i]=++sz,rs[rt[i]]=++sz;
  	for(int i=n;i;--i){
  		int d=(int)g[i].size();
  		for(int j=0;j<d;++j){
  			int v=g[i][j].fi,w=g[i][j].se;
  			wv[rt[v]]+=w;
  			if(cmp(ls[rt[v]],rs[rt[v]]))wv[rs[rt[v]]]+=w;
  			else wv[ls[rt[v]]]+=w;
  			rt[i]=merge(rt[i],rt[v]);
  		}
  		for(int j=1;j<d;++j)rt[i]=merge(ls[rt[i]],rs[rt[i]]);
  	}
  	rt[1]=merge(ls[rt[1]],rs[rt[1]]);
  	while(rt[1]){
  		ans-=wv[rt[1]];
  		rt[1]=merge(ls[rt[1]],rs[rt[1]]);	
  	}
  	cout<<ans<<endl;
  	return 0;
  }