【bzoj4445 scoi2015】小凸想跑步

题目描述

小凸晚上喜欢到操场跑步，今天他跑完两圈之后，他玩起了这样一个游戏。

操场是个凸 $n$ 边形， $n$ 个顶点按照逆时针从 $0$ ∼ $n-1$ 编号。现在小凸随机站在操场中的某个位置，标记为 $p$ 点。将 $p$点与 $n$ 个顶点各连一条边，形成 $n$ 个三角形。如果这时 $p$ 点， $0$ 号点， $1$ 号点形成的三角形的面 积是 $n$ 个三角形中最小的一个，小凸则认为这是一次正确站位。

现在小凸想知道他一次站位正确的概率是多少。

输入输出格式

输入格式：

第 $1$ 行包含 $1$ 个整数 $n$ , 表示操场的顶点数和游戏的次数。

接下来有 $n$ 行，每行包含 $2$ 个整数 $x^i,y^i$ ，表示顶点的坐标。

输入保证按逆时针顺序输入点，所有点保证构成一个凸多边形。所有点保证不存在三点共线。

输出格式：

输出 $1$ 个数，正确站位的概率，保留 $4$ 位小数。

说明

对于 $30$ % 的数据， $3\le n\le 4,0\le x,y\le 10$

对于 $100$ % 的数据， $3\le n\le 10^5,-10^9\le x,y\le 10^9$

题意：已经很清楚了！

题解：

①你可以设坐标为x，y画一下柿子可以做，网上这类做法主流；

②下面是大米兔的非主流做法：

 

肯定是用合法的面积/总面积，AB是P0P1的话，合法的应该是OE分割的的靠近

AB的半部分，如果求出所有的OE就可以求出合法的面积；OE是什么呢？定义是

在OE上的任意一点P，$S_{PDC}=S_{PAB}$，E的方向可以直接由A'D'的中点

获得，结合交点O可求出OE，这样复杂度OK；实现也是半平面交而已；

③注意n变形的n条边也要加进去！

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-20;
const int N=200010;
typedef long double lf;
int n,m,tot;
char gc(){
    static char *p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2) p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return (p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0,f=1; char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=gc();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';c=gc();}
    return x*f;
}
int dcmp(lf x){return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;/*x==0?0:x<0?-1:1;*/}
struct point{lf x,y;point(){};point(lf x,lf y):x(x),y(y){};}p[N],py[N];
struct line{point A,B; lf ang;line(){}line(point A,point B):A(A),B(B){ang=atan2(B.y-A.y,B.x-A.x);}}hp[N],l[N];
point operator -(const point&A,const point&B){return point(A.x-B.x,A.y-B.y);}
point operator +(const point&A,const point&B){return point(A.x+B.x,A.y+B.y);}///
lf operator *(const point&A,const point&B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}
lf operator ^(const point&A,const point&B){return A.x*B.x+A.y*B.y;}
point operator *(const point&A,lf t){return point(A.x*t,A.y*t);}
point operator /(const point&A,lf t){return point(A.x/t,A.y/t);}
bool operator <(const line&l1,const line&l2){
    int d = dcmp(l1.ang-l2.ang);
    return (!d)?(dcmp((l1.B-l1.A)*(l2.A-l1.A))<0):(d<0);
}///
point inter(line l1, line l2){
    if(!dcmp(l1.ang-l2.ang)) return (l1.A+l2.A)/2;
    lf t,k1,k2;
    k1 = (l2.B-l2.A)*(l1.A-l2.A);
    k2 = (l1.B-l1.A)*(l2.B-l2.A);
    t = k1 / k2;
    return l1.A + (l1.B-l1.A)*t;
}//////
bool onleft(line l1,line l2,line l){
    point ip = inter(l1,l2);
    return dcmp((l.B-l.A)*(ip-l.A))>0;
}//
lf len(point A){return sqrt(A.x*A.x+A.y*A.y);}
void half(){///
    sort(l+1,l+tot+1);
    int tmp = tot,tot = 0,L=0,R=0;
    for(int i=1;i<=tmp;i++){if(i==1||dcmp(l[i-1].ang-l[i].ang)) l[++tot]=l[i];}    
    hp[++R] = l[1]; hp[++R] = l[2];
    for(int i=3;i<=tot;i++){
        while(L<R-1&&!onleft(hp[R],hp[R-1],l[i])) R--;
        while(L<R-1&&!onleft(hp[L+1],hp[L+2],l[i])) L++;
        hp[++R] = l[i];
    }
    while(L<R-1&&!onleft(hp[R],hp[R-1],hp[L+1])) R--; hp[++R] = hp[L+1];
    m=0;for(int i=L+1;i<R;i++) py[++m]=inter(hp[i],hp[i+1]); 
}
point calc(point A,point B){return (A+B)/2;}
int main()
{    freopen("bzoj4445.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4445.out","w",stdout);
    n=rd(); 
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i].x=rd(),p[i].y=rd(); p[n+1] = p[1];
    for(int i=1;i<=n;i++) l[++tot] = line(p[i],p[i+1]);///
    for(int i=2;i<=n;i++){
        point ip = inter(line(p[i+1],p[i]),line(p[1],p[2])),v;
        if(dcmp((p[2]-p[1])*(p[i+1]-p[i]))>=0) 
        v=calc(p[1]-p[2],p[i+1]-p[i]),l[++tot]=line(ip,ip+v);
        else v=calc(p[2]-p[1],p[i]-p[i+1]),l[++tot]=line(ip+v,ip);//////
        //printf("%d %.4lf %.4lf
",i,v.x,v.y);
    }
    half();
    lf ansA = 0,ansB = 0;
    for(int i=2;i<m;i++) ansA+=(py[i+1]-py[i])*(py[i]-py[1]); ansA = fabs(ansA);
    for(int i=2;i<n;i++) ansB+=(p[i+1]-p[i])*(p[i]-p[1]); ansB = fabs(ansB);//
    printf("%.4Lf",ansA/ansB);
    return 0;
}//by tkys_Austin;