题意
(n) 个节点的树，每个点有点权，(m) 次操作，操作分两种，修改一个节点的点权，对于一个 ((u,v)) ，询问 (displaystylesum_{i=1}^nsum_{j=1}^n f(i,j)) 的值，其中如果路径 ((i,j)) 与路径 ((u,v)) 有公共点，(f(i,j)=w_iw_j)（ (w_i) 表示节点 (i) 的点权），否则 (f(i,j)=0) 。
(1leq n,m leq 10^5)
思路
先讲一下用 ( ext{LCT}) 维护子树信息的写法（以子树和为例）。
我们需要一个两个数组维护和，(sum，isum) 前者表示子树和，后者表示虚儿子的和。
( ext{push_up}) 函数需要这么写
void push_up(int x){sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+isum[x]+pw[x];}
在连断虚实边时，要注意 (isum) 的变化。
void access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
splay(x),isum[x]+=-sum[y]+sum[ch[x][1]],ch[x][1]=y,push_up(x);
//其实这里可以不用push_up(x)，因为sum值没有变化
}
( ext{link}) 函数这样写，因为需要维护子树和，所以两个点直接转到根。
void link(int x,int y)
{
make_root(x),make_root(y);
fa[x]=y;
isum[y]+=sum[x];
push_up(y);
}
( ext{cut}) 函数同理
void cut(int x,int y)
{
make_root(x),access(y),splay(x);
ch[x][1]=fa[y]=0;
push_up(x);
}
正难则反，我们用总的路径 ((i,j)) 的答案减去没有公共点的路径 ((i,j)) 的答案。
总的路径非常好求，就是 (displaystylesum_{i=1}^ndisplaystylesum_{j=1}^nw_iw_j= (sum_{i=1}^n w_i)^2) 。
为了求没有交点的路径，我们不妨利用 ( ext{LCT}) 将这条路径的一个端点拎到根，那对与询问 ((u,v)) ，答案就是这个式子：
[(sum_{i=1}^n w_i)^2-sum_{pin ext{Path}(u,v)} sum_{qin ext{son}(p) ext{且}q
otin{ ext{Path}(u,v)}}sum_q^2
]
其中 (sum_i) 表示子树和，我们需要用上面的方法去维护它。不难发现，实化路径 ((u,v)) 后，上面的 (q) 其实就是虚儿子的 (sum) 平方再求和，那用类似的方法进行维护。然后再对这个东西再求一次路径和即可。最终用总的去减就是最终答案了。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int P=1e9+7;
int ch[N][2],fa[N];bool rev[N];
int stk[N],tp;
int pw[N],sum[N],isum[N],Sum[N],ans[N];
int n,m;
void create(int x,int val)
{
ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;
pw[x]=sum[x]=val;
isum[x]=Sum[x]=ans[x]=0;
}
bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
void reved(int x)
{
std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[x]^=1;
}
void push_up(int x)
{
sum[x]=((ll)sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+pw[x]+isum[x])%P;
ans[x]=((ll)ans[ch[x][0]]+ans[ch[x][1]]+Sum[x])%P;
}
void push_down(int x)
{
if(rev[x])
{
if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
rev[x]=0;
}
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x)
{
stk[tp=1]=x;
for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
while(stk[tp])push_down(stk[tp]),tp--;
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
rotate(x);
}
}
void access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
{
splay(x);
(isum[x]+=(-(ll)sum[y]+sum[ch[x][1]])%P)%=P;
(Sum[x]+=(-(ll)sum[y]*sum[y]%P+(ll)sum[ch[x][1]]*sum[ch[x][1]])%P)%=P;
ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}
void make_root(int x)
{
access(x),splay(x),reved(x);
}
int get_root(int x)
{
access(x),splay(x);
while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
splay(x);
return x;
}
void link(int x,int y)
{
make_root(x),make_root(y);
fa[x]=y;
(isum[y]+=sum[x])%=P;
(Sum[y]+=(ll)sum[x]*sum[x]%P)%=P;
push_up(y);
}
void lift(int x,int y)
{
make_root(x),access(y),splay(x);
}
void update(int x,int val)
{
lift(x,x);
pw[x]=val;
push_up(x);
}
int query(int x,int y)
{
lift(x,y);
return (((ll)sum[x]*sum[x]%P-ans[x])%P+P)%P;
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
FOR(i,1,n)
{
int x;
scanf("%d",&x);
create(i,x);
}
FOR(i,1,n-1)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
link(u,v);
}
while(m--)
{
int op,u,v;
scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);
if(op==1)update(u,v);
else if(op==2)printf("%d
",query(u,v));
}
}
return 0;
}