1 #include<stdio.h>
2 #include<iostream>
3 #include<string.h>
4 #include<map>
5 #include<string>
6 using namespace std;
7 map<string,int>vis;
8 bool obious(int x){
9 int cnt = 0;
10 while(x>0){
11 if(x%2)cnt++;
12 x /= 2;
13 }
14 if(cnt%2) return true;
15 return false;
16 }
17 int string_int(string x){
18 int ans = 0;
19 for(int i = 0;i<x.size();i++){
20 ans = ans*10+x[i]-'0';
21 }
22 // cout<<"ans:"<<ans<<endl;
23 return ans;
24 }
25 int main()
26 {
27 #ifdef LOCALL
28 // freopen("in.txt","r",stdin);
29 //freopen("out2.txt","w",stdout);
30 #endif
31 int n;
32 while(cin>>n) {
33 int ans = 0;
34 vis.clear();
35 if(n == 0){cout<<"Yes
";continue;}
36 for(int i = 0;i<n;i++){
37 string xx;
38 cin>>xx;
39 if(vis.count(xx))continue;
40 vis[xx] = 1;
41 int x = string_int(xx);
42 // cout<<"x:"<<x<<"obious:"<<obious(x)<<endl;
43 if(obious(x)){
44 ans^=2*x;
45 }
46 else ans ^= (2*x+1);
47 }
48 if(ans)cout<<"No
";
49 else cout<<"Yes
";
50 }
51 return 0;
52 }
幸好先看了Game Theory，要不然又要哭着找解题报告了……
是Mock Turtles：这类游戏每次可以翻动一个、二个或三个硬币。
本来打表SG也是可以的，可是论文里最精髓的部分在于找了这个SG表的规律。
因为这个规律不像之前那些题目那样那么明显。有兴趣的可以自己先找找规律。
规律是什么呢？
先来看sg表：
| Position x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| sg[x] | 1 | 2 | 4 | 7 | 8 | 11 | 13 | 14 | 16 | 19 | 21 | 22 | 25 | 26 |
也许有些同学不清楚这些sg[x]是怎么得来的，那么我再唠叨一下：
比方说sg[2] : 因为每次可以翻动一个、二个或三个硬币，现在第2个位置是正面（一定要翻的），0,1号位置都是反面，所以下一步可以翻到的局面有：反反反（终态，P，sg = 0），正反反（sg = sg[0] = 1），反正反(sg = sg[1] = 2)，正正反。
现在“正正反”的sg是多少呢？
还记得我们一开始说的（额……在平等博弈那篇里），关于翻硬币的问题，我们可以化为每个正面硬币单独存在的局势的异或和，所以正正反 = 正 + 反正 = sg[0]+sg[1] = 3（这里的加是二进制加，就是异或）。
根据sg函数的性质，我们知道最小没有出现的自然数就是4了，所以sg[2] = 4。
再分析个sg[3]的：
0 0 0 1 可以变为 0 0 0 0( sg = 0), 1 0 0 0(sg[0] = 1) ,0 1 0 0(sg[1] = 2), 0 0 1 0(sg[2] = 4) , 1 1 0 0(sg[0]^sg[1] = 3), 0 1 1 0(sg[1]^sg[2] = 6),1 0 1 0(sg[0]^sg[2] = 5).
所以sg[3] = 7.
以上。
然后，现在我们知道了SG表（嘛……之后说说怎么计算机打表的，人工打累死……）
然后最精彩的部分来了：
我们先定义2个代名词：
1. odious：二进制表示中1的个数为奇数
2. evil: 二进制表示中1的个数为偶数
结论是：
if(2x) == odious，sg(x) = 2x;
if(2x) == evil，sg(x) = 2x+1.
而且sg值是odious数字的连续升序（额，不知道怎么准确描述，自创词汇，就是说sg[x]和sg[x-1]之间没有其他的odious数了）。
额……证明基于一个事实（为什么是事实，反证一下就清楚了）：（这个事实重要啊！这是证明的核心！
evil^evil=odious^odious=evil
evil^odious=odious^evil=odious
+ 数学归纳法。
证明：
目标：证明sg值是odious数字的连续升序。
具体实现（不严谨版）：
1、假设在位置x左边的所有位置的sg值满足这个性质
2、目标转变：企图证明，x位置的sg值就是下一个obious数。
首先，根据规则，x这个位置的硬币肯定要翻过来。
然后如果我们只翻这一位，0；——也就是说0这个数被排除，不会是sg[x]（事实由于0是evil数，所以没什么关系）。
如果翻2位，也就是说变成了翻x左边的一位（因为x一定要被翻成反面）——把左边一位的反面翻成正面，就成了sg[x-i]{x=>i>0},而由1知，这个数sg[x-i]一定是一个odious数（而且是出现过的，就是说不会是下一位）。然后i是从1到x，所以，之前所有的odious数都会出现过。
如果翻3为，同理，变成了2个odious数，而odious^odious=evil，所以不会影响下一个odious数的出现。
综上得证。（PS：有些同学可能会问，为什么“之前所有的odious数都会出现”，现在出现的就一定是下一个odious数，下2个，下3个不行么？答案是不行的，为什么呢？不要忘了我们关于SG函数的定义，SG函数定义的时候就说了“最小没有出现的（自然）数”，如果是现在的sg[x]是“下2个”，而且又满足上面2的推理，那就说明“下一个”还没有出现，那sg[x]应该是“下1个”的值才对，这和假设的“sg[x]是“下2个””矛盾。所以一定是“下一个”……）
MT与NIM：
我看论文的时候发现其实这个Mock Turtles很像Multi-SG（就是可以选择把1堆分成2堆的那个）。
MT可以允许每次翻1、2、3个。
只翻1个，就到终态，就是nim里的，取一堆，全部取完了。
只翻2个，就是nim里的取一堆，但是没取完。
只翻3个，就是nim里的，选一堆，不取石子，而是把这堆分成2个小堆。——当然，这两个小堆怎么分，就不是按照平时的整数拆成2个整数相加那么直接了。
最后说说怎么打表吧，打个小点的表，那就按照我上面说的与NIM的类比进行DFS打表吧……（就说说……给个方向……
番外：
窝： 可是证明好像还是没有说为什么
“if(2x) == odious，sg(x) = 2x;
if(2x) == evil，sg(x) = 2x+1.”
是正确的吧！
Big窝：嘛…… Think!骚年！
窝： 可是那个证明只说明了SG函数的值是odious数的……额……连续……升序啊……
Big窝：为什么要考虑2x？除了找到规律之外，当我们知道结论之后，能知道为什么吗？
窝： 恩……我想是因为odious数的定义吧！奇数个1。……一个自然数写成2进制，其中1的个数不是奇数，就是偶数，我想所以才会是和2x有关的规律吧。
Big窝： 然后？
窝： 然后？！然后就求2x是不是odious数！如果不是，+1肯定是的！
Big窝：……这样就证明了？
窝：（点头）
Big窝：嘛……你说“2x是不是odious数！如果不是，+1肯定是的！”……我觉得你说的最大的漏洞在于，我们关于‘SG函数的值是odious数的连续升序“本来就是
“if(2x) == odious，sg(x) = 2x;
if(2x) == evil，sg(x) = 2x+1.”
这个结论推导出来的，现在你用这个结论去证明它的前提，你觉得正确性如何？
窝： ……
Big窝：不过你说的想法，可以作为以后思考后猜想的方向，嘛……也不是完全没有用的……
窝：……