值得一做》关于数学与递推 BZOJ1002 （BZOJ第一页计划）（normal+）

　　什么都不说先甩题目

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

 

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

　　这道题其实思路应该是生成树计数问题，但是很明显的，本题给出的数据范围对于一般使用的Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)来说数据范围有点大，所以在这里Matrix-Tree只作为暴力算法，正解得出的方法是用奇怪的递推式。

　　首先来讲讲Matrix-tree，具体方法是这样：

　　一，首先得出一个点的度的矩阵A，定义为：对于当前矩阵A[i][j]来说，只有在当前i=j的情况下，A[i][j]为第i个点的度数，其他点为0；

　　二，得出一个关于边的矩阵B，定义为：对于当前的矩阵B[i][j]来说，当i与j相连的情况下，B[i][j]为1，其他点为0；

　　最后得出一个最终矩阵C，对于C的定义为：C[i][j]=A[i][j] - B[i][j]；

　　我们在最后的计算前要对矩阵C做一件玄学的事情：以一个对角线数字作为关键点，消掉该关键带点所在横行于纵行所有点（包括自己），把剩下的点再拼成矩阵C（事关玄学）；

　　接下来就很简单了，把新矩阵C当做一组线性方程，然后用高斯消元对C来求解（只需要把由对角线切开的任意一个数字三角上的数全消为0即可），然后把对角线上的数字全部相乘，得出解；

　　贴出以这种方法写的n<20的暴力

#include<stdio.h>
double mp[110][110];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n==1){printf("1");return 0;}//来组特判 
    if(n==2){printf("5");return 0;}
    mp[1][1]=3,mp[1][n]=-1,mp[1][2]=-1,mp[n][n]=3,mp[n][1]=-1,mp[n][n-1]=-1;
    for(int i=2;i<n;i++)mp[i][i-1]=mp[i][i+1]=-1,mp[i][i]=3;//以下是建立矩阵的过程 
    for(int i=2;i<=n;++i)//对于这道题，把中间的点看做要消掉的点，建矩阵方法因人而异 
    {
        for(int j=1;j<i;++j)
        {
            double shit=(-mp[i][j])/mp[j][j];
            for(int k=j;k<=n;++k)
            mp[i][k]+=mp[j][k]*shit;
        }
    }
    double ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans*=mp[i][i];
    printf("%d",(int)(ans+0.5));//四舍五入 
    return 0;
}

　　但是这样并不能A，所以我们要想一种更优的解，

　　根据对打表数据的判断，可以得出g[i]=3*g[i-1]-g[i-2]+2的神奇结论；

　　这个公式好像要依靠对于数论的理解来分析（对于新加入的点对于全图的关系），得出递推式。

　　贴出正解代码

#include<stdio.h>
struct shit{
    int a[1000],len;
}g[110];
int n;
shit c(shit x,int y)
{
    for(int i=1;i<=x.len;i++)x.a[i]*=y;
    for(int i=1;i<=x.len;i++)
    {
        x.a[i+1]+=x.a[i]/10;
        x.a[i]%=10;
    }
    if(x.a[x.len+1])x.len++;
    return x;
}
shit j(shit x,shit y)
{
    x.a[1]+=2;
    int s=x.len;
    shit z;
    for(int i=1;i<=x.len;i++)
    {
        if(x.a[i]<y.a[i])x.a[i+1]--,x.a[i]+=10;
        x.a[i]=x.a[i]-y.a[i];
    }
    while(x.a[x.len]==0)x.len--;
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    g[1].a[1]=1,g[1].len=1;
    g[2].a[1]=5,g[2].len=1;
    for(int i=3;i<=n;++i)
        g[i]=j(c(g[i-1],3),g[i-2]);
    for(int i=g[n].len;i>=1;i--)printf("%d",g[n].a[i]);
    return 0;
    
} 

另外还有一种思路提供参考

【规律】这里是1--15的打表情况：1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 15125 39601 103680 271441 710645 1860496。很快先发现一个规律：第1、3、5、7位是平方数，2、4、6、8位除以5后也是平方数。

　　　　然后再整理：1*1 5*1*1 4*4 5*3*3 11*11 5*8*8 29*29 5*21*21 76*76 5*55*55 199*199 5*144*144 521*521。看着奇数位1,3,8,21,55。。。。。。灵光一现：这不是斐波那契的一半吗：1,2,3,5,8,13,21,24,55.。。。。。另外一个也能表示成类似的相加的数列：

奇数位：1 3 4 7 11 18 29 76

偶数位：1 2 3 5 8 13 21 34 55

主要结论来自于：http://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/22645557

然后贴出以这种方式A的神犇的代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int size=51;                 //这里的位数卡着n=100的情况，为了加速。
struct arr{int num,p[size];}a,b,c;
int i,n,j;
arr add(arr a,arr b)
{
  arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));
  c.num=a.num>b.num?a.num:b.num;
  for (int i=1;i<=c.num;i++)
    c.p[i]=a.p[i]+b.p[i];
  for (int i=1;i<=c.num;i++)
    c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;
  if (c.p[c.num+1]) c.num++;
  return c;
}
arr chen(arr a,arr b)
{
  arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));
  for (int i=1;i<=a.num;i++)
    for (int j=1;j<=b.num;j++)
      c.p[i+j-1]+=a.p[i]*b.p[j];
  c.num=a.num+b.num-1;
  for (int i=1;i<=c.num;i++)
    c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;
  while (c.p[c.num+1])
  {
    c.num++;c.p[c.num+1]+=c.p[c.num]/10;c.p[c.num]%=10;
  }
  return c;
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  switch (n) 
  {
    case 0:{printf("0");return 0;}
    case 1:{printf("1");return 0;}
    case 2:{printf("5");return 0;}
  }
  if (n%2==0)
  {
    a.p[1]=1;b.p[1]=2;a.num=1;b.num=1;
    for (i=4;i<=n;i++)
    {
      c=add(a,b);
      a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
      b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
    }
    c=chen(c,c);
    memset(a.p,0,sizeof(a.p));a.p[1]=5;a.num=1;c=chen(c,a);
    for (i=c.num;i>0;i--)
      printf("%d",c.p[i]);
  }
  else
  {
    a.p[1]=1;b.p[1]=3;a.num=1;b.num=1;
    for (i=3;i<=n;i++)
    {
      c=add(a,b);
      a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
      b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
    }
    c=chen(c,c);
    for (i=c.num;i>0;i--)
      printf("%d",c.p[i]);
  }
  return 0;
}