$Luogu$ $P1879$ $[USACO06NOV]$ 玉米田 $Corn Fields$

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背景

(USACO) (2006) (Nov.) (Gold) (T2) ， (Luogu) (P1879/POJ3254/AcWing327)

题意

给定 (n) 行 (m) 列的矩阵，每个格子中的数为 (0) 或 (1) ，表示是否能使用（ (1) 表示能使用）。求选出两两不相邻的任意多个能使用的格子的方案数对 (10^9) 取模的值。

解法

预处理每一行数的总可使用状态，设第 (i) 行数总可使用状态为 (gr_i) 。
设 (f_{i,S}) 表示选完第 (i) 行后，第 (i) 行的状态为 (S) 的总方案数。则转移方程为 (f_{i,k}+=f_{i-1,S}) （ ((S & k=0) && (k & (k>>1)=0) && (k & gr_i=0)) ）。
限制条件的含义是第 (i-1) 行和第 (i) 行每个在同一列的数状态都不相同，且第 (i) 行每两个相邻数状态都不相同，且第 (i) 行所有的被选数都可以使用。
则边界条件是 (f_{0,0}=1) ，意为一个也不选的方案唯一；答案是 (sum_{S=0}^{2^m-1} f_{n,S}) ，意为所有行选完后最后一行所有状态的总方案数。

(trick)

对于是否是可使用的格子判断：设当前状态为 (j) ，该行总可使用状态为 (S) 。那么当前状态内所有选中的格子全部可以使用的条件是 (j & S =j) 。原因是按位或运算的性质，只有在某一位上 (j=1) 且 (S eq 1) 时总的运算结果才会 ( eq j) 。

细节

(1.) 枚举的顺序：先枚举当前行方案是否合法，再枚举与上一行是否有相同位（两行是否兼容）。

(2.) 对于一行数总可使用状态的建立：从左往右建立，按自然规律左移添加位数即可。

代码

$View$ $Code$

```cpp #include using namespace std; inline int read() { int ret=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-'0'; ch=getchar(); } return ret*f; } const int mod=1e9; int n,m,gr[13],f[13][4096],ans; bool a[13][13]; int main() { n=read(); m=read(); for(register int i=1;i<=n;i++) { for(register int j=1;j<=m;j++) { a[i][j]=read(); gr[i]=(gr[i]<<1)+a[i][j]; } } f[0][0]=1; for(register int i=1;i<=n;i++) for(register int j=0;j<(1<