与下降幂相关的类二项式定理
[(a+b)^{underline k}=sum_{i=0}^kinom{k}{i}a^{underline i}b^{underline{k-i}}
]
考虑直接把下降幂转化成组合数。
[(a+b)^{underline k}=inom{a+b}{k}k!\
sum_{i=0}^kinom{k}{i}a^{underline i}b^{underline{k-i}}=sum_{i=0}^kinom{k}{i}inom{a}{i}i!inom{b}{k-i}(k-i)!\
=sum_{i=0}^kinom{a}{i}inom{b}{k-i}k!\
]
两边都除掉 (k!) ，然后就是一个范德蒙德卷积。
[inom{a+b}{k}=sum_{i=0}^kinom{a}{i}inom{b}{k-i}\
]
与上升幂相关的类二项式定理
[(a+b)^{overline k}=sum_{i=0}^kinom{k}{i}a^{overline i}b^{overline{k-i}}\
]
还是尝试转成组合数。
[(a+b)^{overline k}=inom{a+b+k-1}{a+b-1}k!\
sum_{i=0}^kinom{k}{i}a^{overline i}b^{overline{k-i}}=sum_{i=0}^kinom{k}{i}inom{a+i-1}{a-1}i!inom{b+k-i-1}{b-1}(k-i)!\
=sum_{i=0}^kinom{a+i-1}{a-1}inom{b+k-i-1}{b-1}k!
]
还是两边除掉 (k!) 。
[inom{a+b+k-1}{a+b-1}=sum_{i=0}^kinom{a+i-1}{a-1}inom{b+k-i-1}{b-1}\
]
这个式子组合意义理解一下，是对的。
与导数相关的类二项式定理
[(fcdot g)^{(k)}=sum_{i=0}^kinom{k}{i}f^{(i)}g^{(k-i)}\
]
卧槽这个式子真的假的啊。哦，就直接乘积的导数暴力拆开？