一些定义：
割点集合（割集）：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。
点连通度：最小割点集合中的顶点数。
割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。
边连通度：最小割边集合中的边数。
点双连通：如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的，简称双连通或重连通。
割点：一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点，又叫关节点。
边双连通：如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的，简称双连通或重连通。
割边（桥）：一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥，又叫关节边。
在图G的所有子图G'中，如果G'是双连通的，则称G'为双连通子图。如果一个双连通子图G'它不是任何一个双连通子图的真子集，则G'为极大双连通子图。双连通分支，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。
求割点与桥：
该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。根据定义，则有：
Low(u)=Min { DFS(u) DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v)<DFS(u)且v不为u的父亲节点 Low(v) (u,v)为树枝边(父子边) }
一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2) (1) u为树根，且u有多于一个子树。 (2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。
一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)<Low(v)。
下面的是求割边与割点的模版：
1 const int N =1010, M=100010; 2 struct Edge 3 { 4 int to, next; 5 bool iscut; 6 }edge[M]; 7 int head[N],tot, low[N], dfn[N], sta[N]; 8 int add_block[N];//删除一个点以后增加的连通块 9 bool insta[N],cut[N]; 10 int top,sig,bridge,child; 11 void tarjanbfs(int u, int from) 12 { 13 sta[top++]=u; 14 dfn[u]=++sig; low[u]=sig; 15 insta[u]=1; 16 child=0; 17 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 18 { 19 int v=edge[i].to; 20 if(v ==from) continue; 21 if(!dfn[v]) 22 { 23 child++; 24 tarjanbfs(v,u); 25 low[u]=min(low[u],low[v]); 26 if(dfn[u]<low[v]) //判断桥的条件 27 { 28 bridge++; 29 edge[i].iscut=1; 30 edge[i^1].iscut=1; 31 } 32 if(u!=from&&low[v]>=dfn[u]) // 割点 33 { 34 cut[u]=1; 35 add_block[u]++; 36 } 37 } 38 else low[u]=min(low[u],low[v]); 39 } 40 if(u==from && child>1) cut[u]=1; //这也是割点 41 if(u==from) add_block[u]=child -1; 42 insta[u]=0; 43 top--; 44 } 45 void tarjan(int n) 46 { 47 memset(insta,0,sizeof(insta)); 48 memset(add_block,0,sizeof(add_block)); 49 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 50 memset(cut,0,sizeof(cut)); 51 sig=top=0; bridge=0; 52 for(int i=1;i<=n;i++) 53 if(!dfn[i]) tarjanbfs(i,i); 54 } 55 void addedge(int i,int j) 56 { 57 edge[tot].to=j;edge[tot].next=head[i]; 58 edge[tot].iscut=0;head[i]=tot++; 59 } 60 void init() 61 { 62 memset(head,-1,sizeof(head)); 63 tot=0; 64 }
一些题目：
hdu4587 TWO NODES
题意：求任意删除两个点以后，可以得到的最多的连通分支数。
枚举删除一条边后产生的割点，求删除该割点（或许有多个割点）产生的连通分支数。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 7 const int N =5010, M=10010; 8 struct Edge 9 { 10 int to, next; 11 }edge[M]; 12 int head[N],tot, low[N], dfn[N], sta[N]; 13 int add_block[N];//删除一个点以后增加的连通块 14 bool insta[N],cut[N]; 15 int top,sig,cnt,tt,ans; 16 void tarjanbfs(int u, int from) 17 { 18 sta[top++]=u; 19 dfn[u]=++sig; low[u]=sig; 20 insta[u]=1; 21 int child=0; 22 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 23 { 24 int v=edge[i].to; 25 if(v ==from) continue; 26 if(v ==tt) continue; 27 if(!dfn[v]) 28 { 29 child++; 30 tarjanbfs(v,u); 31 low[u]=min(low[u],low[v]); 32 if(u!=from&&low[v]>=dfn[u]) // 割点 33 { 34 cut[u]=1; 35 add_block[u]++; 36 } 37 } 38 else if(insta[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); 39 } 40 if(u==from && child>1) cut[u]=1; //这也是割点 41 if(u==from) add_block[u]=child -1; 42 insta[u]=0; 43 top--; 44 } 45 void tarjan(int n) 46 { 47 memset(insta,0,sizeof(insta)); 48 memset(add_block,0,sizeof(add_block)); 49 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 50 memset(cut,0,sizeof(cut)); 51 sig=top=0; 52 ans=cnt=0; 53 for(int i=1;i<=n;i++) 54 if(i!=tt&&!dfn[i]) 55 { 56 tarjanbfs(i,i); 57 cnt++; 58 } 59 for(int i=1;i<=n;i++) 60 if(i!=tt) 61 { 62 ans=max(ans,cnt+add_block[i]); 63 } 64 } 65 void addedge(int i,int j) 66 { 67 edge[tot].to=j;edge[tot].next=head[i];head[i]=tot++; 68 } 69 void init() 70 { 71 memset(head,-1,sizeof(head)); 72 tot=0; 73 } 74 75 int main() 76 { 77 //freopen("test.txt","r",stdin); 78 int n,m,i,j,k; 79 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 80 { 81 init(); 82 while(m--) 83 { 84 scanf("%d%d",&i,&j); 85 i++;j++; 86 addedge(i,j); 87 addedge(j,i); 88 } 89 int s=0; 90 for(i=1;i<=n;i++) 91 { 92 tt=i; 93 tarjan(n); 94 s=max(s,ans); 95 } 96 printf("%d ",s); 97 } 98 return 0; 99 }
UVA 796 Critical Links
题意：给出一幅无向图，求出割边的数目，以及输出割边（输出有顺序）。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<vector> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 const int N =1010, M=100010; 8 struct Edge 9 { 10 int to, next; 11 bool iscut; 12 }edge[M]; 13 int head[N],tot, low[N], dfn[N], sta[N]; 14 int add_block[N];//删除一个点以后增加的连通块 15 bool insta[N],cut[N]; 16 int top,sig,bridge,child; 17 void tarjanbfs(int u, int from) 18 { 19 sta[top++]=u; 20 dfn[u]=++sig; low[u]=sig; 21 insta[u]=1; 22 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 23 { 24 int v=edge[i].to; 25 if(v ==from) continue; 26 if(!dfn[v]) 27 { 28 child++; 29 tarjanbfs(v,u); 30 low[u]=min(low[u],low[v]); 31 if(dfn[u]<low[v]) //判断桥的条件 32 { 33 bridge++; 34 edge[i].iscut=1; 35 edge[i^1].iscut=1; 36 } 37 if(u!=from&&low[v]>=dfn[u]) // 割点 38 { 39 cut[u]=1; 40 add_block[u]++; 41 } 42 } 43 else low[u]=min(low[u],low[v]); 44 } 45 if(u==from && child>1) cut[u]=1; //这也是割点 46 if(u==from) add_block[u]=child -1; 47 insta[u]=0; 48 top--; 49 } 50 void tarjan(int n) 51 { 52 memset(insta,0,sizeof(insta)); 53 memset(add_block,0,sizeof(add_block)); 54 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 55 memset(cut,0,sizeof(cut)); 56 sig=top=0; bridge=0; 57 for(int i=1;i<=n;i++) 58 if(!dfn[i]) tarjanbfs(i,i); 59 } 60 void addedge(int i,int j) 61 { 62 edge[tot].to=j;edge[tot].next=head[i]; 63 edge[tot].iscut=0;head[i]=tot++; 64 } 65 void init() 66 { 67 memset(head,-1,sizeof(head)); 68 tot=0; 69 } 70 vector<pair<int,int> >res; 71 int main() 72 { 73 //freopen("test.txt","r",stdin); 74 int n,i,j,k,t; 75 char ch; 76 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 77 { 78 init(); 79 res.clear(); 80 for(t=1;t<=n;t++) 81 { 82 83 scanf("%d (%d)",&i,&k); 84 i++; 85 while(k--){ 86 scanf("%d",&j); 87 j++; 88 if(j<=i) continue; 89 addedge(i,j); 90 addedge(j,i); 91 } 92 } 93 tarjan(n); 94 printf("%d critical links ",bridge); 95 for(i=1;i<=n;i++) 96 { 97 for(k=head[i];k!=-1;k=edge[k].next) 98 { 99 if(edge[k].iscut&&edge[k].to>i) 100 res.push_back(make_pair(i,edge[k].to)); 101 } 102 } 103 sort(res.begin(),res.end()); 104 for(i=0;i<res.size();i++) 105 printf("%d - %d ",res[i].first-1,res[i].second-1); 106 printf(" "); 107 } 108 return 0; 109 }
poj3177 Redundant Paths
双连通构造问题，比较热的题目
题意：就是给了一个连通图，问加多少条边可以变成边双连通。
详细题解：http://blog.csdn.net/wangjian8006/article/details/7990666
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<vector> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 8 const int N =5010, M=100010; 9 struct Edge 10 { 11 int to, next; 12 bool iscut; 13 }edge[M]; 14 int head[N],tot, low[N], dfn[N], sta[N], belg[N]; 15 int add_block[N];//删除一个点以后增加的连通块 16 bool insta[N],cut[N]; 17 int top,sig,bridge,block;//边连通块数 18 int de[N];//度数 19 void tarjanbfs(int u, int from) 20 { 21 int v; 22 sta[top++]=u; 23 dfn[u]=++sig; low[u]=sig; 24 insta[u]=1; 25 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 26 { 27 v=edge[i].to; 28 if(v ==from) continue; 29 if(!dfn[v]) 30 { 31 tarjanbfs(v,u); 32 low[u]=min(low[u],low[v]); 33 if(dfn[u]<low[v]) //判断桥的条件 34 { 35 bridge++; 36 edge[i].iscut=1; 37 edge[i^1].iscut=1; 38 } 39 } 40 else if(insta[v]) low[u]=min(low[u],low[v]); 41 } 42 if(low[u]==dfn[u]) 43 { 44 block++; 45 do 46 { 47 v=sta[--top]; 48 insta[v]=0; 49 belg[v]=block; 50 } 51 while(v!=u) ; 52 } 53 } 54 void tarjan(int n) 55 { 56 memset(insta,0,sizeof(insta)); 57 memset(add_block,0,sizeof(add_block)); 58 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 59 memset(cut,0,sizeof(cut)); 60 sig=top=0; bridge=0; 61 tarjanbfs(1,1); 62 } 63 void addedge(int i,int j) 64 { 65 edge[tot].to=j;edge[tot].next=head[i]; 66 edge[tot].iscut=0;head[i]=tot++; 67 } 68 void init() 69 { 70 memset(head,-1,sizeof(head)); 71 tot=0; 72 } 73 int main() 74 { 75 //freopen("test.txt","r",stdin); 76 int n,m,i,j,k,t,ans; 77 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 78 { 79 init(); 80 while(m--) 81 { 82 scanf("%d%d)",&i,&j); 83 addedge(i,j); 84 addedge(j,i); 85 } 86 tarjan(n); 87 memset(de,0,sizeof(de)); 88 ans=0; 89 for(i=1;i<=n;i++) 90 for(k=head[i];k!=-1;k=edge[k].next) 91 if(edge[k].iscut) de[belg[i]] ++; 92 for(i=1;i<=block;i++) 93 if(de[i]==1) ans++; 94 printf("%d ",(ans+1)/2); 95 } 96 return 0; 97 }
POJ 3694 Network
题意：给出一幅无向图，问在加入新边的过程中桥的数目的变化。
PS:LCA太烦了，我试着去做此题。然后放弃了。
PS：双连通的题目一般不出现，出现了就基本上没多少队伍做得出来。