莫比乌斯反演
当满足以下求和函数：
可以得到：
F(1)=f(1) F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+ f(3) F(4)=f(1)+f(2)+f(4) F(5)=f(1)+f(5)
推出：
f(1)=F(1) f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)
f(3) =F(3)-F(1) f(4)=F(4) -f(2)- f(1) =F(4)-F(2)
f(5) =F(5)-F(1)
可以反推出求f（x）的式子：
在上面的公式中有一个
（1）若
（2）若
（3）其它情况下
而
然后是关于莫比乌斯求GCD的原理，当时看了很久感觉并无法满足上面公式，后来才发现还有公式2(╯▽╰)
即F[n]等于n的倍数d,f[d]的和，然后可以反演出后面公式
对于GCD（x，y） = k
设f[d]： GCD(x,y) = k ，即最大公约数为k的（x，y）的对数
F[n]： n|GCD（x，y） ，即最大公约数是n的倍数的（x，y）的对数
所以：F{1] = f[1] + .... + f[n]
F[2] = f[2] + f[4] + ....f[2*i]...
可以发现完全满足上面的公式
而且对于F[n]，可以求出F[n] = （a/n）*（b/n）
因此我们可以再利用反演求f[d]
void Moblus()
{
tot = 0;
memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= maxn; i++)
{
if(!is_prime[i])
{
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < tot; j++)
{
if(prime[j]*i>maxn)
break;
is_prime[i*prime[j]] = 1;
if(i % prime[j]) //prime[j]不重复
{
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
}
else
{
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
}
}
}
关于优化：
在计算中，我们是枚举1->n计算，每次ans+= mu[i] * (a/i) * (a/i)
我们可以发现，由于是除法计算，所以经常出现a/i = a/(i+1) = .... = a/(i+k) 例如：8/3 = 8/4
所以每次循环我们可以计算出，相等值的长度，然后在用sum保存mu的和，一次循环便能计算出一段数的值
ll gett(int n,int m) //分块优化
{
ll ret = 0;
int i,last;
if(n > m)
swap(n,m);
for(i = 1,last = 0;i<=n;i=last+1)
{
last = Min(n/(n/i),m/(m/i)); //求为n/i时的最远位置
ret += (ll)(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
}
return ret;
}
参考文章：
/************************************************分界线*******************************************************/
①：求GCD /*个人理解
对于求GCD，我们可以看成先求出所有选择的情况，然后减去GCD不为1（即把数分成各个因子的集合）
例：num[2]能被2约去的数，然后减去这些数，我们会发现减去了2,3后，6会被多减，所有需要加上，于是满足了
莫比乌斯函数.大致思路：
C(n,k) － C(gcd只含奇数个质数的个数,k) ＋ C(gcd只含偶数个质数的个数,k)，前面的符号就是莫比乌斯函数
一种是求1≤x≤n，1≤y≤m中多少对(x,y)满足gcd(x,y) = 1, /*比如上面的hdu1695
推出公式：for(i->min(n,m)) ans += mu[i]*(n/i)*(m/i),
完全可以看成在i = 1时求出所有情况，然后2的倍数（即可能gcd = 2的情况），减去3的倍数...加上6的倍数......。
另一种是给你特定的几个数，让你求他们互质的情况（其中k个数互质）。
我们也是先计算出总的情况，而且筛选出，每个这些数中，是i的倍数的个数，用num保存。
因为是在一个集合中，加上num[i] = x，则选出gcd = i的情况：x*(x-1)
②：完全平方数的问题
例如求不是完全平方数的倍数，我们要减去比如4,9,16什么的，刚好和他们根号下的莫比乌斯函数符号相同。
利用这个性质可以很愉快的算出。
/*新手一个，若有错误还请见谅 ,^O^，
/*尽管很弱,真的真的很想参加区域赛！！