牛客第五场 B Graph最小异或生成树

这道题涉及到最小异或生成树，要理解这个首先要明白 01字典树
关于01字典树呢，先来一道板子题hdu4825 ==》Xor Sum
不方便跳转的同学们可以看下面的题
Problem Description
Zeus 和 Prometheus 做了一个游戏，Prometheus 给 Zeus 一个集合，集合中包含了N个正整数，随后 Prometheus 将向 Zeus 发起M次询问，每次询问中包含一个正整数 S ，之后 Zeus 需要在集合当中找出一个正整数 K ，使得 K 与 S 的异或结果最大。Prometheus 为了让 Zeus 看到人类的伟大，随即同意 Zeus 可以向人类求助。你能证明人类的智慧么？
Input
输入包含若干组测试数据，每组测试数据包含若干行。
输入的第一行是一个整数T（T < 10），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数N，M（1<=N,M<=100000），接下来一行，包含N个正整数，代表 Zeus 的获得的集合，之后M行，每行一个正整数S，代表 Prometheus 询问的正整数。所有正整数均不超过2^32。

Output
对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
对于每个询问，输出一个正整数K，使得K与S异或值最大。

Sample Input

2
3 2
3 4 5
1
5
4 1
4 6 5 6
3

Sample Output

Case #1:
4
3
Case #2:
4

Source
2014年百度之星程序设计大赛 - 资格赛

题意：
开始先给你一n个数，然后后面有m个询问，问当前询问的数异或上之前的 n 个数中的哪一个值更大。

这就十分体现出了01字典树的优势，将开始的 n 个数按照二进制放到树中，然后在后面的 m 次查询的时候，选出这个数按照二进制每一位和之前存入树里面的 n 个数中每一位尽可能不同的数

这个题有个坑，int是在2³¹范围内，但是这里有句话：所有正整数均不超过2^32。，因此就用long long了叭

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll c = getchar(),Nig = 1,x = 0;while(!isdigit(c) && c!='-')c = getchar();
    if(c == '-')Nig = -1,c = getchar();
    while(isdigit(c))x = ((x<<1) + (x<<3)) + (c^'0'),c = getchar();
    return Nig*x;}
#define read read()
const int maxn=3e6+7;
int gen;
int tree[maxn][2];
ll val[maxn];
void _add(ll x){
    int pos=0;
    for(int i=32;i>=0;i--){
        int op=(x >> i) & 1;
        if(!tree[pos][op]) tree[pos][op] = ++gen;
        pos = tree[pos][op];
    }
    val[pos] = x;///当前位置存放的数是 x
}
ll _find(ll x){
    int pos=0;
    for(int i=32;i>=0;i--){
        int op = (x >> i) & 1;
        ///异或操作相同为零不同为1
        if(tree[pos][op^1]) pos=tree[pos][op^1];
        else pos = tree[pos][op];
    }
    return val[pos];///返回当前位置的值
}
int n,m;
int main()
{
    int T=read;
    int cnt=0;
    while(T--){
        cnt++;
        printf("Case #%d:
",cnt);
        gen=0;
        for(int i=0;i<=n;i++) val[i]=0;
        memset(tree,0,sizeof(tree));

        n=read,m=read;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            ll tt=read;
            _add(tt);
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            ll ask=read;
            printf("%lld
",_find(ask));
        }
    }
    return 0;
}

如果还是有的地方不是太懂的话，直接直接跳转大佬博客或者是这篇博客奉上学长的博客
到这里其实就可以发现01字典树就是用来求异或最值问题的一种很巧妙的解题方法，算法也十分高效

再看一道这样的题
地址或者是地址
G. Xor-MST
time limit per test2 seconds
memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
You are given a complete undirected graph with n vertices. A number a i is assigned to each vertex, and the weight of an edge between vertices i and j is equal to a i xor a j.

Calculate the weight of the minimum spanning tree in this graph.

Input
The first line contains n (1 ≤ n ≤ 200000) — the number of vertices in the graph.

The second line contains n integers a 1, a 2, …, a n (0 ≤ a i < 230) — the numbers assigned to the vertices.

Output
Print one number — the weight of the minimum spanning tree in the graph.

Examples
inputCopy

5
1 2 3 4 5

outputCopy
8
inputCopy

4
1 2 3 4

outputCopy
8
首先解释一波题目大意：
给出 n 个点，每个点有个点权，对于之前给出的 n 个数中如果对应的分别是a[ 1 ] ~ a[ n ]，而且连接的两个边是i 和 j 的情况下，那么这个边权就是a[ i ] ^ a[ j ]
题目要求是找到最小的异或生成树
写到这里，纪念下我的第一个跨天的博客诞生
对于上面那个体的代码，听了光光学长讲的，自己写了写，感觉没什么问题，然后非常成功的

然后发现问题之后

照着学长的374ms还是有一定的差距
首先奉上学长的博客

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll c = getchar(),Nig = 1,x = 0;while(!isdigit(c) && c!='-')c = getchar();
    if(c == '-')Nig = -1,c = getchar();
    while(isdigit(c))x = ((x<<1) + (x<<3)) + (c^'0'),c = getchar();
    return Nig*x;}
#define read read()
const int maxn=3e6+7;
ll a[maxn];
int n;
struct node{
    int gen;
    int tree[maxn][2];///存树
    void init(){///初始化
        gen=0;
    }
    int left[maxn],right[maxn];
    void _add(ll x,int id){
        int rt = 0;/// 默认从0开始
        for(int i = 32;i >= 0;i --){
            int op = (x >> i) & 1;
            if(!tree[rt][op]) tree[rt][op] = ++gen;
            rt = tree[rt][op];/// 根转移过去

            if(!left[rt]) left[rt] = id;
            right[rt] = id;
        }
    }
    ///询问根rt下从pos开始与 x 异或得到的最小值
    ll _RetPos(int rt,int pos,ll x){
        ll ret=0;
        for(int i = pos;i>=0;i--){
            int op=(x >> i) & 1L;/// ill?
            if(tree[rt][op]) rt = tree[rt][op];
            else{
                rt = tree[rt][!op];
                ret += (1L << i);
            }
        }
        return ret;
    }
    /// 分治
    ll _Divide(int rt,int pos){
        ///在根rt下,左右两棵子树进行遍历
        if(tree[rt][0]&&tree[rt][1]){///都存在的的情况下进行合并
            ll mi = 0x3f3f3f3f;
            /// 左右子树
            int x = tree[rt][0],y = tree[rt][1];
            for(int j = left[x];j <= right[x];j ++){///遍历当前根节点下id范围
                mi = min(mi,_RetPos(y,pos - 1,a[j])+(1L << pos));
            }
            return mi+_Divide(tree[rt][0],pos - 1)+_Divide(tree[rt][1],pos - 1);
        }
        else if(tree[rt][0]){/// 仅是左面有 && !tree[rt][1]
            return _Divide(tree[rt][0],pos - 1);
        }
        else if(tree[rt][1]){/// 仅是右面有!tree[rt][0] &&
            return _Divide(tree[rt][1],pos - 1);
        }
        /// 前面的都不符合
        return 0L;
    }
}wuyt;
int main()
{
    wuyt.init();
    n = read;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i] = read;
        ///wuyt._add(a[i],i);
    }
    /// 先排序后插入
    sort(a + 1,a + 1 + n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        wuyt._add(a[i],i);
    }
    printf("%lld
",wuyt._Divide(0,32));
    return 0;
}
/**
5
1 2 3 4 5
8

4
1 2 3 4
8
**/

01字典树的插入是没有顺序的，可以先将输入的数进行排序，然后进行插入，再插入的时候加上 id 这样一来，在后面 分治操作 _Divide()的时候就十分简便了

步入正题：

牛客第五场B Graph 链接

输入

6
0 1 1
1 2 4
1 3 3
0 4 5
0 5 2

输出

7

官方题解：

未完待续，天亮再肝 20200801 00:25
code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll c = getchar(),Nig = 1,x = 0;while(!isdigit(c) && c!='-')c = getchar();
    if(c == '-')Nig = -1,c = getchar();
    while(isdigit(c))x = ((x<<1) + (x<<3)) + (c^'0'),c = getchar();
    return Nig*x;}
#define read read()
const int maxn=3e6+7;
ll a[maxn];
int n,ct=1;
struct node{
    int gen;
    int tree[maxn][2];///存树
    void init(){///初始化
        gen=0;
    }
    int left[maxn],right[maxn];
    void _add(ll x,int id){
        int rt = 0;/// 默认从0开始
        for(int i = 32;i >= 0;i --){
            int op = (x >> i) & 1;
            if(!tree[rt][op]) tree[rt][op] = ++gen;
            rt = tree[rt][op];/// 根转移过去

            if(!left[rt]) left[rt] = id;
            right[rt] = id;
        }
        ///val[pos] = x;///当前位置存放的数是 x
    }
    ///询问根rt下从pos开始与 x 异或得到的最小值
    ll _RetPos(int rt,int pos,ll x){
        ll ret=0;
        for(int i = pos;i>=0;i--){
            int op=(x >> i) & 1L;/// ill?
            if(tree[rt][op]) rt = tree[rt][op];
            else{
                rt = tree[rt][!op];
                ret += (1L << i);
            }
        }
        return ret;
    }
    /// 分治
    ll _Divide(int rt,int pos){
        ///在根rt下,左右两棵子树进行遍历
        if(tree[rt][0]&&tree[rt][1]){///都存在的的情况下进行合并
            ll mi = 0x3f3f3f3f;
            /// 左右子树
            int x = tree[rt][0],y = tree[rt][1];
            for(int j = left[x];j <= right[x];j ++){///遍历当前根节点下id范围
                mi = min(mi,_RetPos(y,pos - 1,a[j])+(1L << pos));
            }
            return mi+_Divide(tree[rt][0],pos - 1)+_Divide(tree[rt][1],pos - 1);
        }
        else if(tree[rt][0]){/// 仅是左面有 && !tree[rt][1]
            return _Divide(tree[rt][0],pos - 1);
        }
        else if(tree[rt][1]){/// 仅是右面有!tree[rt][0] &&
            return _Divide(tree[rt][1],pos - 1);
        }
        /// 前面的都不符合
        return 0L;
    }
}wuyt;
struct Edge{
    int v,next;
    ll val;/// 边权
}edge[maxn];
int  head[maxn];
void _AddEdge(int u,int v,ll val){
    edge[++ct] = Edge{v, head[u] , val};
    head[u] = ct;///链式前向星存图
}
void DFS(int u,int zx,ll val){
    a[u] = val;///
    for(int j = head[u];j; j=edge[j].next){
        int temp = edge[j].v;
        if(temp == zx) continue ;
        DFS(temp,u,val^edge[j].val);
    }
}
int main()
{
    wuyt.init();
    n = read;
    for(int i=1;i<n;i++){
        ll x=read,y=read,val=read;
        x+=1,y+=1;
        _AddEdge(x,y,val);
        _AddEdge(y,x,val);
    }
    /// 先排序后插入
    DFS(1,1,0);///此时a[]已经存入
    sort(a + 1,a + 1 + n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        wuyt._add(a[i],i);
    }
    printf("%lld
",wuyt._Divide(0,32));
    return 0;
}
/**
6
0 1 1
1 2 4
1 3 3
0 4 5
0 5 2
**/