内容:若a⊥b，则(a^{varphi(b)}equiv 1(mod b))。
证明:设(r_{1},r_{2},cdots,r_{varphi(b)})为 mod b意义下的一个简化剩余系，则(ar_1,ar_2,cdots,ar_{varphi(b)})也是mod b意义下的一个简化剩余系。
(quad quad)所以， (r_{1},r_{2},cdots,r_{varphi(b)}=ar_1,ar_2,cdots,ar_{varphi(b)}=a^{varphi(b)}r_1r_2cdots r_{varphi(b)}(mod b))
(quad quad) 所以 (a^{ varphi(b)} equiv 1(mod b))
证毕:
(quad quad) 特别的，当b为素数时，(varphi(b)=b-1),这个时候的欧拉定理就是费马小定理，所以说费马小定理是欧拉定理的一个特例。
欧拉定理推论:
[a^{b} equivleft{egin{array}{ll}
a^{b mod varphi(p)} & a ot p=1 \
a^{b} & a ot p
eq 1, b<varphi(p) \
a^{b mod varphi(p)+varphi(p)} & a ot p
eq 1, b geq varphi(p)
end{array}
ight.
]
先证明第一个，其他的先咕咕咕
若正整数a，n互质，则对于任意正整数b，有(a^b equiv a^{b mod varphi(n)} (mod n))
证明:
[ 设b=q*varphi(n)+r,r= b mod varphi(n) \
所以a^b equiv a^{q*varphi(n)+r} equiv (a^{varphi(n)})^q*a^r equiv 1^q*a^requiv a^{r}= a^{b mod varphi(n)} (mod n )
]
证毕
很多题目要求我们把答案对一个质数p取模后再输出，面对a+b，a-b，a*b等算式，可以现在计算前将a，b取模。
面对乘方算式，可根据欧拉定理推论，先把底数对p取模，指数对(varphi(p))取模，再计算乘方算式。