理想解法

理想解法

​ 理想解法也称为(TOPSIS)法，是一种有效的多指标评价方法。
这种方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各个指标的最优，最劣解
通过计算每个指标对正理想解的靠近程度，对负理想解的远离程度来对方案进行排序

方法和原理

​ 设一个多属性决策方案集为(D={d_1,d_2,...,d_m})，衡量方案优劣的属性变量为(x_1,x_2,...,x_n)，这时方案集中的每个方案(d_i)都有n个属性值，那么他们共同构成了向量([a_{i1},a_{i2},....a_{in}])

​ 正理想解(C^*)其实就是(D)中没有的一个最佳方案,它的每个属性值都是决策矩阵(D)中的最优值，负理想解(C^0)同理每个属性值都是(D)中的最差值。

​ 那么我们只要将(D)中的属性值与(C^*,C^0)比较，既靠近正理想解，又远离负理想解的方案就是最优方案。

​ 所以用理想解法的求解问题的概念就很明确，只要找到如何计算空间中距离的方法就行，而理想解法用的就是欧几里得距离。

(TOPSIS)法的步骤

1. 用向量规划化的方法取得规范决策矩阵
   设原决策矩阵为(A=(a_{ij}){m*n}),规范化决策矩阵为(B=(b_{ij})_{m*n}),其中

   [b_{ij}=frac{a_{ij}}{sqrt{sum_{i=1}^{m}a_{ij}^{2}}},i=1,2,..,n ]

   是该元素除以，该元素所在一列的所有 元素的平方 的和

2. 构造一个加权规范阵(C=(c_{ij})_{m*n})
   设权重向量为(W=[w_1,w_2,..,w_n]^{T})，则

   [c_{ij}=w_j*b_{ij},i=1,2,..,n ]

3. 确定正理想解(C^*)和负理想解(C^0)

   [正理想解c_j^*=第j列最优的c_{ij},j=1,2,...,n \对效益型属性来说，最优就是最大值max，对成本型来说，最优就是最小值min ]
   [负理想解c^0=第j列最差的c_{ij},j=1,2,...,n ]
   [对效益型来说是最小的min，对成本型来说是最大的max ]

4. 计算各方案到正负理想解的距离

   方案(d_i)到正理想解的距离(s_i^*)为：

   [s_i^*=sqrt{sum_{j=1}^{n}(c_{ij}-c_i^*)^2},i=1,2,...,m ]

   方案(d_i)到负理想解的距离(s_i^0)为：

   [s_i^0=sqrt{sum_{j=1}^{n}(c_{ij}-c_i^0)^2},i=1,2,...,m ]

5. 计算各案的排序指标值（即综合评价指数），即

   [f_i^*=frac {s_i^*}{s_i^*+s_i^0},i=1,2,...,m ]

6. 按照(f_i^*)的大小顺序就能得出方案的优劣次序，(f_i^*)越大的方案越好