问题 J: 集合计数
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题目描述
一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）
输入
一行两个整数N,K
输出
一行为答案。
样例输入
3 2
样例输出
6
如果固定k个元素必须选，则还剩下2^(n-k)个集合，
因此，交集>=k的方案数就是f[k]=C(n,k)*2^(2^(n-k))
很明显我们要去重，那就要用到容斥原理了。
ans=f[k]* C(k,k)-f[k+1]* C(k+1,k)+f[k+2] *C(k+2,k)…..
也就是说当有k+1个交集时，得讨论一下是哪几个重了。
#include <cstdio>
#define p 1000000007
#define N 1000000
#define ll long long
int n,k;ll ans,a[N+5],b[N+5],xp[N+5];
ll cheng(ll x,ll m)
{
ll ans=1;
for(;m;m>>=1,x=x*x%p)if(m&1)ans=ans*x%p;
return ans;
}
ll C(int n,int m){return (a[n]*b[m]%p)*b[n-m]%p;}
void init()
{
a[0]=b[0]=xp[0]=1;
for(ll i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]*i%p;
for(int i=1;i<=n-k;i++)xp[i]=xp[i-1]*2ll%(p-1);
b[n]=cheng(a[n],p-2);
for(ll i=n-1;i>=1;i--)b[i]=b[i+1]*(i+1)%p;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
init();
for(ll i=k,f=1;i<=n;i++,f=-f)
ans=(ans+f*C(i,k)*cheng(2,xp[n-i])%p*C(n,i)%p+p)%p;
printf("%lld
",ans);
}