欧拉函数及模板

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欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

求法：

　　求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要对n进行素因子分解。

　　1）直接实现

int Euler(int n) { //1.直接求欧拉函数的值
    int rea=n;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
        if(n%i==0) { //第一次找到的必为素因子
            rea=rea-rea/i;
            while(n%i==0) {
                n=n/i;//把该素因子全部约掉
            }
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}

　　

素数表实现

    先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存，以方便欧拉函数使用，这样，在不考虑筛选法的时间复杂度，而单纯看欧拉函数，其复杂度为O（x），x为O(√¯n）以内素数的个数。

//2.素数表
bool boo[50000];
int p[20000];
void prim()
{
    memset(boo,0,sizeof(boo));
    boo[0]=boo[1]=1;
    int k=0;
    for(int i=2; i<50000; i++)
    {
        if(!boo[i])
            p[k++]=i;
        for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)
        {
           // cout<<i*p[j]<<endl;
            boo[i*p[j]]=1;
                if(!(i%p[j]))
                break;
        }
}
}//筛选法打表
 
int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历
        if(n%p[i]==0)
        {
            rea=rea-rea/p[i];
 
            while(n%p[i]==0){
                n=n/p[i];
            }
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}

3）递推求欧拉函数

     如果频繁的使用欧拉函数值，就需要预先打表，下面介绍递推求欧拉公式的方法。

    可预先之所有数的欧拉函数值都为她本身，有定理可知，如果p是一个正整数且满足φ（p）=p-1;那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况。那么说明该数为素数，把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被素因子整除的数改变。

//3.递推
int pp[20000];
for(int i=1; i<=maxn; i++)
    pp[i]=i;
for(int i=2; i<=maxn; i+=2)
    pp[i]/=2;
for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
    if(pp[i]==i)
        for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
            pp[j]=pp[j]/i*(i-1);