数值分析——多项式插值之Lagrange插值

一、引言

　　考虑这样一个实际例子，当我们按下计算器的正弦按钮时，会发生什么？我们都知道计算器有可以处理加法和乘法的硬件，但是，它是如何计算一个数的正弦值呢？多项式插值法就可以解决这样的问题。我们将在未来重新审视这个问题。目前，我们先来学什么是插值以及如何插值。

二、什么是插值

　　如下图所示，假定我们收集了一组数据点$(x, y)$，譬如$(0, 1), (2, 2), (3, 4)$。有一条经过这三点的抛物线，我们把这条抛物线称为经过这3点的二次插值多项式。

这样就引出了插值的数学定义，如下：

【插值的定义】　　如果$P(x_i) = y_i (1 leqslant i leqslant n)$，那么函数$y = P(x)$插值了数据点

$(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)$

 简单来讲就是，如果一个函数通过了一组数据点，那么就称这个函数插值了这组数据点。

二、Lagrange插值

2.1 讨论

　　现在我们知道了什么是插值，请大家考虑一个问题，如果我只知道一组n个数据点$(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)$，我们想要求出一个多项式，能够插值这一组所有的数据点。并且这个多项式的次数是$d = n - 1$次的，该怎么做？

　　Lagrange插值公式给出了这个问题的解答方案。例如，假设给定点$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，那么其2次插值多项式可以由Lagrange插值多项式给出，如下：

$P_2(x) = y_1 frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} + y_2 frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3 frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}$

 　　那么有人可能会问，这样的多项式一定是正确的吗，答案是：是的。我们可以验证一下：

1. 当$x = x1$时，$P_2(x1) = y1$;

2. 当$x = x2$时，$P_2(x2) = y2$;

3. 当$x = x3$时，$P_2(x3) = y3$;

 　　我们只考虑这三个点，因为我们只有这三个点，在这3个点上，这个多项式都成功的插值了，因此，这个多项式一定是正确的。（注意这个多项式关于变量$x$是2次的）

2.2 数学定义

一般地，假设给出$n$个点$(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)$，则对于1和n之间的每一个$k$可定义

$L_k(x) = frac{(x - x_1) cdot cdot cdot (x - x_{k -1})(x - x_{k + 1}) cdot cdot (x - x_n)}{(x_k - x_1) cdot cdot cdot (x_k - x_{k -1})(x_k - x_{k + 1}) cdot cdot (x_k - x_n)}$

 $L_k$的一个有趣性质是：

1. $L_k(x_k) = 1$

2. $L_k(x_j) = 0 qquad (j eq k)$

　　因此，定义$n - 1$次Lagrange多项式

$P_{n - 1}(x) = y_1 L_1(x) + cdot cdot cdot + y_n L_n(x)$

2.3 存在性和及唯一性

　　有人会问，对于给定的n个数据点，其插值多项式是唯一的吗？即只能是由一个多项式才能插值这n个点吗？答案是：不是。

　　大家想想就知道，对于二维平面的$n$个坐标点，我们肯定能画出无穷条线来穿过这些点，每一条线都对应这一个多项式。那么这个问题的意义何在？

　　多项式是无穷的，但是，对于插值$n$个数据点的多项式，其最高次数是小于等于$n - 1$的，这样的多项式，只能是只有一个。用数学来描述这个问题如下：

【定理】

　　设$(x_1, y_1), cdot cdot cdot, (x_n, y_n)$是平面上$x_i$互不相同的$n$个点，那么存在一个而且仅存在一个次数小于等于$n - 1$次的多项式，满足

$P(x_i) = y_i,  qquad i = 1,  cdot cdot cdot, n$

【证明】

　　(1) 存在性：存在性已由Lagrange插值的显式公式得出。

　　(2) 唯一性：假定有存在两个这样公式，譬如$P(x)$及$Q(x)$，它们最多是$n - 1$次，而且都插值所有$n$个点，即有：

$P(x_1) = Q(x_1) = y_1, P(x_2) = Q(x_2) = y_2, cdot cdot cdot, P(x_n) = Q(x_n) = y_n$。

　　则有$H(x) = P(x) - Q(x)$，显然，$H$的次数最多也是$n - 1$，而且注意到

$H(x_1) = H(x_2) = cdot cdot cdot = H(x_n)$

　　即$H$有$n$个不同的零点。按照代数学基本定理，一个$d$次多项式，除了它恒等于零多项式，最多可能有$d$个零点。因此有

$H equiv 0$

　　于是，

$P(x) equiv Q(x)$

因此，存在唯一的次数小于等于$n - 1$的多项式$P(x)$插值与$n$个点$(x_i, y_i)$。

2.4 范例

【题目】求插值于点$(0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, -1)$的次数小于等于3的多项式。

【解】Lagrange形式如下：

$P(x) = 2 frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)} + 1 frac{(x - 0)(x - 2)(x - 3)}{(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)} + 0 frac{(x - 0)(x - 1)(x - 3)}{(2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)} + (-1) frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)} = -x + 2$