P4718[模板]PollardRho算法

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4718

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题目大意

给出一个数\(n\)，如果它是质数则输出\(Prime\)，否则输出它的最大质因子。

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解题思路

\(\text{Pollard-Rho}\)算法的前置知识是\(\text{Miller-Rabin}\)。在使用\(\text{Miller-Rabin}\)判掉质数之后，\(\text{Pollard-Rho}\)使用基于随机的思想能够较快的求出一个大数的因子之一。

朴素的随机算法就是随机一个数判断它是不是因子，我们先使用一个较为优秀的随机方式，\(f(x)=f(x-1)^2+c\)（其中\(c\)为一个常数）。

然后我们利用在这个函数上“跑”的距离来判断，也就是每次拿某两个\(i,j\)，判断\(|f(i)-f(j)|\)是否为它的因数。

但是如果枚举的话\(f\)函数上会出现一些“环”，我们需要快速的判掉“环”的方法。每次拿\(s,t\)，令\(t=2s\)，若环长为\(c\)，那么有\(f(x)=f(x+c)\)，当某一时刻\(f(t)=f(s)\)那么环长一定是\(s\)的整数倍。

然后判到环就退出，如果没有找到就换一个常数重新做，这样的我们的算法雏形就形成了。

但是这样还是跑的很慢，发现我们在过程中大量调用了\(gcd(d,p)\)导致时间变慢。考虑优化，我们可以每次先做一堆，然后在把这一堆拿过去一起搞定。首先我们有\(gcd(ac,b)=gcd(a,b)\)，然后根据\(gcd\)的原理，我们有\(gcd(a,b)=gcd(a\% b,b)\)那么也就是我们有\(gcd(a,b)=gcd(ac\%b,b)\)。

那么假设我们有若干个间隔\(a_1,a_2,a_3,...\)那么我们把这数乘起来模\(p\)，然后把得到的结果\(k\)与\(p\)取\(gcd\)就等价于拿\(a\)中逐个取与\(p\)取\(gcd\)。

所以我们的优化方法就是第\(i\)次拿\(2^i\)个间隔去一起与\(p\)判断，但是因为\(i\)后面会很大导致副作用，所以将\(i\)设一个上界\(8\)即可。
时间复杂度期望是\(O(n^{2.5})\)，但跑的飞快

回到这题来，我们先对\(n\)用\(\text{MR}\)判断一次质数，然后跑\(\text{Pr}\)弄出一个因子\(d\)，之后将\(n\)的因子\(d\)都去光后分别把\(n\)和\(d\)丢下去递归继续跑。可以记录一个目前最大质因子来剪去一些不优状态。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const ll pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,27};
ll T,n,ans;
ll ksc(ll a,ll b,ll p){
    ll c=(long double)a*b/p;
    long double ans=a*b-c*p;
    if(ans<0)ans+=p;
    else if(ans>=p)ans-=p;
    return ans;
}
ll power(ll x,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ksc(ans,x,p);
        x=ksc(x,x,p);b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool Mr(ll p){
    if(p==2)return 1;
    if(p<2||!(p&1))return 0;
    ll t=p-1,s=0;
    while(!(t&1))t>>=1,s++;
    for(ll i=0;i<10&&pri[i]<p;i++){
        ll x=power(pri[i],t,p),k;
        for(ll j=0;j<s;j++){
            k=ksc(x,x,p);
            if(k==1&&x!=1&&x!=p-1)
                return 0;
            x=k;
        }
        if(x!=1)return 0;
    }
    return 1;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{return (!b)?a:gcd(b,a%b);}
ll Pr(ll p){
    ll s=0,t=0,c=1ll*rand()%(p-1)+1;
    for(ll g=1,val=1,d;;g<<=1,s=t,val=1){
        for(ll j=0;j<g;j++){
            t=(ksc(t,t,p)+c)%p;
            val=ksc(val,abs(t-s),p);
            if(j%127==0&&(d=gcd(p,val))>1)
                return d;
        }
        d=gcd(p,val);
        if(d>1)return d;
    }
    return p;
}
void solve(ll n){
    if(n<ans||n<2)return;
    if(Mr(n)){ans=n;return;}
    ll d=0;
    while((d=Pr(n))>=n);
    while(n%d==0)n/=d;
    solve(n);solve(d);
    return;
}
signed main()
{
    srand(998244353);
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        if(Mr(n)){
            printf("Prime\n");
            continue;
        }
        ans=0;solve(n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}