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  • P3515[POI2011]Lightning Conductor【整体二分,决策单调性】

    正题

    题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3507


    题目大意

    \(n\)个数字的一个序列\(a\),对于每个位置\(i\)求一个\(p_i\)使得对于任意\(j\)满足

    \[p_i+a_i-\sqrt{|i-j|}\geq p_j \]


    解题思路

    化简一下发现我们是需要求出\(max\{\sqrt{|i-j|}+p_j\}\)

    分成两次去掉绝对值。
    因为这个根号的性质是增长的越来越小,那么对于一个位置\(i\)若它的\(max\)值位置为\(j\),那么\(i+1\)就一定不小于\(j\)

    利用这个单调性来优化,我们每次直接对于区间正中间\(mid\)暴力求出它的答案\(pos\),那么\([l,mid-1]\)的答案就在\([L,pos]\),而\([mid+1,r]\)的答案就在\([pos,R]\)

    然后递归下去就好了。时间复杂度\(O(n\log n)\)


    code

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<stack>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const ll N=5e5+10;
    ll n;double a[N],f[N],sqr[N];
    stack<ll> s;
    double count(ll i,ll j)
    {return a[j]+sqr[abs(j-i)];}
    void CDQ(ll l,ll r,ll L,ll R){
        if(l>r)return;
        ll mid=(l+r)>>1,pos=L;
        double tmp=count(mid,L);
        for(int i=L+1;i<=R&&i<=mid;i++)
            if(count(mid,i)>tmp)
                pos=i,tmp=count(mid,i);
        f[mid]=max(tmp,f[mid]);
        CDQ(l,mid-1,L,pos);CDQ(mid+1,r,pos,R);
        return;
    }
    signed main()
    {
        scanf("%lld",&n);
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lf",&a[n-i+1]);
            sqr[i]=sqrt((double)i);
        }
        CDQ(1,n,1,n);
        for(ll i=1;n-i+1>i;i++)
            swap(a[i],a[n-i+1]),swap(f[i],f[n-i+1]);
        CDQ(1,n,1,n);
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            printf("%lld\n",(ll)ceil(f[i]-a[i]));
        return 0;
    }
    
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