正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2490
题目大意
一个长度为\(n\)的棋盘上放下\(k\)个棋子。
第一个要是白色，下一个要是黑色，在下一个是白色以此类推。
先手操控白，后手操控黑。白色只能往右，黑色只能往左。每次操作的可以移动\(d\)个棋子任意步。
求先手必胜的初始状态数
\(1\leq d\leq k\leq n\leq 10^4,1\leq k\leq 100\)且\(k\)为偶数
解题思路
把两个黑白棋子之间的长度看为石头堆就是一个\(Nim_k\)游戏了。
\(Nim_k\)游戏的结论就是\(k+1\)进制下各个位置的\(1\)的个数\(\% (k+1)\)等于\(0\)的话先手必败。
因为先手必胜比较麻烦，考虑减去先手必败的情况
这个东西和昨天的一道\(ARC\)的题目很像，每个位分开考虑，设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个位都是\(0\)时，用了\(j\)个石头的方案。
那么转移也十分显然，枚举一个选的倍数\(i\)然后分配到\(\frac{k}{2}\)个石头堆中，方案数就是\(\binom{\frac{k}{2}}{i\times (d+1)}\)。
然后统计答案的时候对于石子和为\(i\)的贡献就是\(\binom{n-\frac{k}{2}-i}{\frac{k}{2}}\)（因为每一堆的个数固定，所以选择起点就好了）
时间复杂度\(O(nk\log n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e4+10,M=110,P=1e9+7;
ll n,k,d,ans,C[N][M],f[16][N];
signed main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);
C[0][0]=1;n-=k;k/=2;d++;
for(ll i=1;i<N;i++)
for(ll j=0;j<M;j++)
C[i][j]=((j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j])%P;
ll z=0;ans=C[n+2*k][k*2];f[0][0]=1;
for(ll p=1;p<=n;p<<=1){
z++;
for(ll j=0;j<=n;j++)
for(ll i=0;j+i*p*d<=n&&i*d<=k;i++)
(f[z][j+i*p*d]+=f[z-1][j]*C[k][i*d]%P)%=P;
}
for(ll i=0;i<=n;i++)
(ans+=P-f[z][i]*C[n+k-i][k]%P)%=P;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}