正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2012
题目大意
(12)种东西排列成长度为(n)的序列，要求前四种出现奇数次，后四种出现偶数次，求方案。(T)组数据，对(10^9)取模。
(1leq n< 2^{63},1leq Tleq 2 imes 10^5)
解题思路
显然是(EGF)，没有限制的话就是(e^x)，奇数就是(frac{e^x-e^{-x}}{2})，偶数就是(frac{e^{x}+e^{-x}}{2})，这些都是老生常谈了。
然后答案就是
[n! imes (frac{e^x-e^{-x}}{2})^4(frac{e^x+e^{-x}}{2})^4(e^{x})^4
]
然后解出来就是
[F(x)=n! imes frac{1}{256} imes(e^{12x}-4e^{8x}+6e^{4x}-4+e^{-4x})
]
[Rightarrow F(x)[n]=frac{1}{256} imes(12^n-4 imes 8^n+6 imes 4^{n}-4+(-4)^n)
]
然后发现(256)没有逆元，但是因为这些底数都含有(256)的因数(2)所以
[=81 imes 12^{n-4}-8^{n-2}+6 imes 4^{n}-4+(-4)^{n-4}
]
小的直接处理就好了
然后发现这样还是过不了，那就用扩展欧拉定理模上一个(varphi(10^9)=4 imes 10^8)然后根号分治预处理一下光速幂就可以过了。
时间复杂度(O(20000+T))
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll b[5]={0,0,0,0,24},T=20000,N=T+10,P=1e9,Phi=4e8;
ll n,pw2[N],pw3[N],Pw2[N],Pw3[N];
ll read(){
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
void print(ll x)
{if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+48);return;}
ll G4(ll n)
{n%=Phi;return Pw2[n/T]*Pw2[n/T]%P*pw2[n%T]%P*pw2[n%T]%P;}
ll G8(ll n)
{n%=Phi;return Pw2[n/T]*pw2[n%T]%P*G4(n)%P;}
ll G12(ll n)
{n%=Phi;return Pw3[n/T]*pw3[n%T]%P*G4(n)%P;}
signed main()
{
pw2[0]=pw3[0]=Pw2[0]=Pw3[0]=1;
for(ll i=1;i<=T;i++)
pw2[i]=pw2[i-1]*2ll%P,pw3[i]=pw3[i-1]*3ll%P;
for(ll i=1;i<T;i++)
Pw2[i]=Pw2[i-1]*pw2[T]%P,Pw3[i]=Pw3[i-1]*pw3[T]%P;
while(1){
n=read();
if(!n)break;
if(n<=4){print(b[n]),putchar('
');continue;}
ll ans=81ll*G12(n-4);
ans=ans-G8(n-2);
ans=ans+6ll*G4(n-4);
ans=ans+((n&1)?-1:1)*G4(n-4);
print((ans%P+P)%P);
putchar('
');
}
return 0;
}