正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179
题目大意
给出(E)和(n)个(s_i,k_i,u_i)求一个序列(v_i)满足
[sum_{i=1}^nk_is_i(v_i-u_i)^2leq E
]
的情况下最小化
[sum_{i=1}^nfrac{s_i}{v_i}
]
(1leq nleq 10^4)
解题思路
洛谷题解上一个十分神奇的做法看起来。（主要是看不懂拉格朗日乘数法/kk）
首先考虑对于段路的行驶时间(t_i=frac{s_i}{v_i})，我们可以画出消耗的能量(E)和(t_i)的函数。
对于函数(f(E)=t_i)不难发现的是在(v_igeq u_i)的情况下(E)越小这个函数对应位置的导数越小。
也就是消耗单位能量减少的时间也就越少，性价比就越低。而我们现在要给每段路分配一个(t_i)使得消耗能量和等于(E)且(t_i)和最小的话。
根据贪心的思想有选出若干个的(t_i)满足对应位置的导数相等。
那么我们就找到了所有路的共性，考虑二分这个导数，但是我们先对这个函数(f(v)=frac{t}{E})求个导。
[t'=-frac{s}{v_i^2},E'=2k_is_i(v_i-u_i)
]
[f'(v)=frac{t'}{E'}=-frac{s}{2k_is_iv_i^2(v_i-u_i)}
]
然后我们二分出(f'(v_i)=x)然后再二分出对应的速度(v_i)就好了。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){
double l=max(v[p],0.0),r=100000;
for(int i=1;i<=100;i++){
double V=(l+r)/2.0;
if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;
else r=V;
}
return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){
double E=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
double V=getv(x,i);
E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);
}
return E;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
double l=-1e5,r=0;
for(int i=1;i<=100;i++){
double mid=(l+r)/2.0;
if(check(mid)<=E)l=mid;
else r=mid;
}
double mid=(l+r)/2.0,ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=s[i]/getv(mid,i);
printf("%.12lf
",ans);
return 0;
}