正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4983
题目大意
给出长度为(n)的序列(x)，记平均数为(ar{x})，要求将序列分成(m)段。
每一段([l,r])的值为
[frac{((sum_{i=l}^rx_i imes ar x)+ar x)^2}{ar x^2}
]
求所有段的值和最小
(1leq mleq nleq 10^5,1leq x_ileq 1000)
解题思路
直接除以(ar x^2)就是最小化((sum_{i=l}^rx_i+1)^2)的和。
然后这个问题是下凸函数，设(f(i))表示恰好分成(i)段，那么显然段数越多答案越小而且每次减少的越少。
所以我们可以用(wqs)二分给每次分一个段加上一个权值(val)。
那么现在的转移就是
[F_i=min{F_j+(s_i-s_j+1)^2+val}(j<i)
]
这是经典的斜率优化不过多赘述。
时间复杂度(O(nlog W))（(W)表示二分值域）
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,m,s[N],f[N],g[N],x[N],y[N],q[N];
ll count(ll l,ll r)
{return f[l]+(s[r]-s[l]+1)*(s[r]-s[l]+1);}
ll xj(ll p,ll q,ll z)
{return (x[p]-x[z])*(y[q]-y[z])-(x[q]-x[z])*(y[p]-y[z]);}
ll check(ll val){
int head=1,tail=0;q[++tail]=0;
for(ll i=1;i<=n;i++){
while(head<tail&&2ll*s[i]*(x[q[head+1]]-x[q[head]])>(y[q[head+1]]-y[q[head]]))head++;
f[i]=count(q[head],i)+val;g[i]=g[q[head]]+1;
y[i]=f[i]+s[i]*s[i]-2*s[i];x[i]=s[i];
while(head<tail&&xj(i,q[tail],q[tail-1])>=0)tail--;
q[++tail]=i;
}
return g[n];
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
ll l=0,r=1e18;
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)<=m)r=mid-1;
else l=mid+1;
}
check(l);
printf("%lld
",f[n]-l*m);
return 0;
}