CF1242CSum Balance【状压dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1242C

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题目大意

给出\(k\)个集合，现在从每个集合中取出一个数再把这些数放进每个集合里各一个，求能否使得所有集合的和相等，求方案。

保证所有集合中的出现过的数字都互不相同。

\(1\leq k\leq 15,1\leq n_i\leq 5000,-10^9\leq a_{i,j}\leq 10^9\)

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解题思路

显然的突破口肯定是数字互不相同。

首先和不变所以每个集合的最后的和应该都是知道的记为\(sum\)，记第\(i\)个集合的和为\(s_i\)。

考虑每个交换都是类似一个环形的结构，设\(b\)传给\(a\)，记传出的数字为\(x_b\)和\(x_a\)，那么有

\[s_a-x_a+x_b=sum\rightarrow x_b=sum-s_a+x_a \]

因为互不相同，每个数字看成一个点，那么数字\(x_a\)连接的就是\(sum-s_a+x_a\)。

然后暴力找出所有没有经过重复集合数字的环，记录\(r_S\)表示集合\(S\)的环的起点。

然后设\(f_S\)表示能否拼出集合\(S\)，然后\(O(3^k)\)转移即可。

时间复杂度：\(O(k\sum n+3^k)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const ll K=16;
ll k,sum,s[K],f[1<<(K-1)],r[1<<(K-1)];
map<ll,ll> v;pair<ll,ll> ans[K];
void solve(ll S){
	if(!S)return;
	ll x=r[f[S]]-1e9-1;
	ll y=x,q=v[x];
	do{
		y+=sum-s[q];
		ans[v[y]]=mp(y,q);
		q=v[y];
	}while(y!=x);
	solve(S^f[S]);
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&k);
	for(ll i=1;i<=k;i++){
		ll m;scanf("%lld",&m);
		for(ll j=1,x;j<=m;j++)
			scanf("%lld",&x),s[i]+=x,v[x]=i;
		sum+=s[i];
	}
	if(sum%k!=0)return puts("No")&0;
	sum/=k;
	map<ll,ll>::iterator it=v.begin();
	while(it!=v.end()){
		ll x=(*it).first,p=(*it).second;
		ll S=0,q=p,y=x,flag=1;
		do{
			if(!q||(S>>q-1)&1)
				{flag=0;break;}
			S|=(1<<q-1);
			y+=sum-s[q];q=v[y];
		}while(y!=x);
		if(flag)r[S]=x+1e9+1;
		++it;
	}
	ll MS=(1<<k);f[0]=-1;
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)
			if(f[s^t]!=0&&r[t]){f[s]=t;break;}
	}
	if(!f[MS-1])return puts("No")&0;
	puts("Yes");solve(MS-1);
	for(ll i=1;i<=k;i++)
		printf("%lld %lld\n",ans[i].first,ans[i].second);
	return 0;
}