生成函数学习笔记
1. 二项式定理
[(a + b) ^ k = sum_{i=1}^{infty}C_n^ia^ib^{n-i}
]
广义二项式定理
[(1 + x)^a = sum_{i=0}^{infty}C_a^ix^i
]
a可以为任意实数
2. 运算法则
普通的运算
加减就是直接系数相加
乘上一个数就是每个系数都乘这个数
生成函数乘生成函数 ， 卷积
移位
乘上一个(x^m) 就是右移m位 （系数右移） ， 可以想一下(x^1) 的系数移动到了 (x^{1+m}) 上
左移同理就是乘上(displaystyle frac{1}{x^m})
积分与求导
积分是求到的逆运算
常用的式子（背过）
[1)huge sum_{n >= 0}[n = m]x^n = x^m \
2)huge sum_{x>=0}x^n = frac{1}{1-x}\
3)huge sum_{n>=m}x^n=frac{x^m}{1-x}\
4)huge sum_{n>=0}c^nx^n=frac{1}{1-cx}\
5)huge sum_{n>=0}C_{n-k+1}^nx^n=frac{1}{{1-x}^k}\
6)huge sum_{n>=0}frac{c^nx^n}{n!}=e^{cx}\
7)huge sum_{n>0}frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=ln(1+x)\
8)huge sum_{n>0}frac{1}{n}x^n=lnfrac{1}{1-x}
]