堆排序分析（JavaScript代码实现）

• 堆排序的时间复杂度是O(nlgn)，与归并排序一样，但它又与插入排序一样具有空间原址性：任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。
• 什么是堆？一般堆用数组存储，表现出近似完全二叉树形式，树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的且从左至右填充。

1. 堆又分为最大堆和最小堆。最大堆：除了根以外的所有节点i都要满足A[parent(i)]>=A[i]，即堆中最大元素是根节点。对应的，最小堆：除了根以外的所有节点i都要满足A[parent(i)]<=A[i]，即堆中最小元素是根节点。     一般在堆排序中用最大堆，最小堆用来构造优先序列。
2. 定义堆中节点的高度：该节点到叶节点最长简单路径上边的数目。则包含n个元素的堆其高度为lgn。
3. 维护堆的性质、方法：(默认数组下标从1开始)

• • maxHeapify:时间复杂度为O(lgn)。通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，从而使得以下标i为根节点的子树重新遵循最大堆性质。

    function maxHeapify(arr, i) {
       let largest;
       let left = i * 2; // leftChild
       let right = i * 2 + 1; // rightChild
       if( left <= arr.length && arr[i] < arr[left] ) {
         largest = left;  
       } else {
         largest = i;
       }
       if( right <= arr.length && arr[largest] < arr[right] ) {
         largest = right;
       }
       if ( largest !== i ) {
         arr[i] = arr[i] + arr[largest];
         arr[largest] = arr[i] - arr[largest];
         arr[i] = arr[i] - arr[largest];
         maxHeapify(arr, largest);
       }
    }

  • buildMaxHeap:建最大堆。时间复杂度为O(n)。用自底向上的方法利用maxHeapify把大小为n的数组转换为最大堆。因为最后一个叶节点序号为n，则其父节点序号为n/2,所以子数组[n/2+1,....,n]都是堆的叶节点，所以循环从n/2开始递减到1，每一次都保证节点i+1,i+2...,n都是一个最大堆的根节点的性质。

    function buildMaxHeap(arr) {
      for (var i = arr.length / 2; i >= 1; i--) {
        maxHeapify(arr,i);
      }
    }

  • heapSort:堆排序算法。先将数组arr建为一个最大堆，因为最大堆的根节点总是最大的，通过把它与arr[n]互换可以得到正确位置。可以算出时间复杂度为O(nlgn)。

    function heapSort(arr) {
      let arrSort = [];
      buildMaxHeap(arr);
      let length = arr.length;
      for (var i = length; i >= 2; i--) {
        arr[1] = arr[i];
        arrSort.push(arr[i]);
        maxHeapify(arr, 1);
      }
      arrSort.push(arr[1]);
      return arrSort;
    }