趣谈生成函数 =v=
今天luyouqi在洛谷随机跳题rand出来一道生成函数板子题，然后我给做了（雾
发现小伙伴们还不会生成函数，于是我试着写这篇生成函数简介。（其实我也不怎么会生成函数这么高级的东西，本篇纯属道听途说，大家看着当故事娱乐一下就好）
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从前有一个无限长的随便一个数列(a = {2, 1, 4, 7, 4})，有一天，一个大佬说：能不能用一个函数表示这个数列呢？于是大佬把(a)的每一项当做一个多项式的系数，得到了多项式函数(f(x) = 2 + x + 4x^2 + 7x^3 + 4x^4)，用来表示上面那个序列。大佬很开心。
大佬的朋友——蒟蒻感到疑惑：这个函数代入一个(x)，得到的东西有什么意义啊？
大佬思考了一会，说：也没什么意义。
蒟蒻说：那你研究它有个*儿用？
大佬又思考了一会，找到了它的一种用途。假如数列(a)代表一类物品，中(a_i)表示这类物品中选(i)件物品的方案数——例如(a = {1, 1, 1})表示A类物品中可以选0件或1件或2件，但不能选大于2件；又例如无限长数列(b = {1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1...})表示B类物品只能选3的倍数件。这时候，把(f(x) = 1 + x + x^2)和(g(x) = 1 + x^3 + x^6 + x^9 ...)乘起来，得到另一个函数(h(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...)。这个函数有什么意义呢？它的第(i)项的系数就是选A、B两种物品共(i)件的方案数。
蒟蒻说：这有啥，不就是把两个多项式乘起来么？和(O(n^2))一个个枚举有什么区别？
大佬说：嗯……你可以FFT……
蒟蒻：哦。没有这个函数我也知道可以FFT。
大佬不认为这个“用函数表示数列”的东西很没用，他决定继续研究，还给它取了个名字叫做数列的“生成函数”，表示用这个函数能生成（表示）一个数列。
有一天，大佬告诉蒟蒻他发现了一个规律——(a = {1, 1, 1, 1, 1...})的生成函数是(f(x) = frac{1}{1 - x})
蒟蒻说：老哥，您不会是研究数学研究傻了吧？它的生成函数不是(1 + x + x^2 + x^3...)嘛？怎么会等于您这个(frac{1}{1 - x})呢？
大佬说：对啊！(1 + x + x^2 + x^3...)就等于(frac{1}{1 - x})！
蒟蒻：喂，大连市第七人民医院嘛？
大佬：……在(xin (-1, 1))的时候。
蒟蒻：你不早说！等等，为什么(xin (-1, 1))时就相等了？
大佬：等比数列求和公式啊，(1 + x + x^2 + x^3...)的前(n)项和等于(frac{1 - x^n}{1 - x})，这是个无限长的数列，(n)趋近于无穷的时候(x^n)趋近于0，这不就相等了嘛！
蒟蒻：啊，对啊！可是好好的一个函数，你凭空给限定了定义域，这还是原来那个函数嘛？
大佬：不是你说的生成函数中的(x)没有意义嘛！还有，你看(1 + x^2 + x^4 + x^6...)这个函数，它是不是等于(frac{1}{1-x^2})？
蒟蒻：对，把前一个式子中的(x)换成(x^2)不就好了嘛！可是(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3...)这个函数，它等于什么？
大佬：等于(frac{1}{(1 - x)^2})啊！你看，对等式(frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3...)两边分别求导，得到……算了，说了你也不懂，那你把两个(1 + x + x^2 + x^3...)乘起来不就好了嘛！
蒟蒻：蛤？我看看……的确诶！
大佬：我还知道(1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + 15x^4...)的生成函数是多少呢！是(frac{1}{(1-x)^3})！推广开来，(frac{1}{(1 - x)^k})生成的数列是(sum_i^infty C_{i + k - 1}^{k - 1} x^i)！
蒟蒻：为什么啊？
大佬：你看(frac{1}{(1 - x)^k})就是(k)个(frac{1}{1 - x})相乘，就是(k)个(1 + x + x^2 + x^3...)相乘嘛。那么它的第(i)项系数就是从(k)个(1 + x + x^2 + x^3...)中每个选出一项，乘起来恰为(x^i)的方案数，就是(i = x_1 + x_2 + ... + x_k)的非负整数解的组数，你用组合数学中的所谓“隔板法”求一下，是不是(C_{i + k - 1}^{k - 1})？
蒟蒻：有道理！
大佬：了解了(frac{1}{1-x^k})和(frac{1}{(1-x)^k})这两种特殊生成函数，就掌握了一类题的技巧——来做道题吧！Luogu P2000 欢迎你！
大佬：我还会用生成函数求斐波那契数列通项！
蒟蒻：这么牛逼？
大佬：首先啊，你看这个斐波那契数列的生成函数(f(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + 8x^6...)，然后把它乘个(x)，得(xcdot f(x) = x^2 + x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 5x^6 + 8x^7...)，用前式减去后式，得到(f(x) - x cdot f(x) = x + x ^ 3 + x^4 + 2x^5 + 3x^6 + 5x^7... = x + x^2 cdot f(x))，所以(f(x) = frac{x}{1 - x - x^2})！
蒟蒻：可是这不是我们之前见过的那两种特殊生成函数，你怎么把它还原成数列呢？
大佬：我打算把它变成等比数列求和的形式！这个分母(1-x-x^2)是可以因式分解的，分解后就是((1-frac{1-sqrt5}{2}x)(1-frac{1+sqrt5}{2}x))，所以$$frac{x}{1 - x - x^2} = frac{x}{(1-frac{1-sqrt5}{2}x)(1-frac{1+sqrt5}{2}x)}$$，看着非常难受，裂项一下，得到$$ frac{x}{(1-frac{1-sqrt5}{2}x)(1-frac{1+sqrt5}{2}x)} = -frac{1}{sqrt5}frac{1}{(1-frac{1-sqrt5}{2}x)} + frac{1}{sqrt5}frac{1}{(1-frac{1+sqrt5}{2}x)}$$这就成了两个等比数列求和公式乘个常数再相加的形式了！把两个等比数列还原成数列，得到$$fib_n = -frac{1}{sqrt5}(frac{1-sqrt5}{2})^n + frac{1}{sqrt5}(frac{1+sqrt5}{2})^n$$这就是斐波那契数列通项公式了！
蒟蒻：哇！这么神奇！
大佬：据说这种方法可以应用到各种线性齐次递推中哦～