多项式全家桶——Part.1 多项式加减乘

多项式全家桶它lei了。

好吧，最近发现自己的多项式芝士严重匮乏，发现只会FFT和NTT，而且还有点生疏。
那既然没事干，那就来吃吃全家桶来补充芝士储备。

多项式

多项式是一个神奇的东东。
它长这样：(sum_{i=0}^{n-1} a_ix^i)
好的，讲完了。

多项式加法、减法

由于多项式长这样：(sum a_ix^i)
那么假设这两个多项式相加、减：(sum a_ix^i、sum b_ix^i)
那么结论就是：(sum (a_ipm b_i)x^i)

多项式乘法

这玩意长这样：((1+a_1x+a_2x^2+…+a_{n-1}x^{n-1})(1+b_1x+b_2x^2+…+b_{m-1}x^{m-1}))
两个多项式相乘就叫做多项式乘法。
具体做法有三种，FFT、NTT 和 MTT
超强wd的博客有讲FFT

这玩意我们直接暴力求是(O(n^2))的。
然后就出现了两个低级算法：DFT和IDFT

DFT、IDFT

DFT叫做离散傅里叶变换，IDFT则是离散傅里叶逆变换。

DFT就是将系数表示法转成点值表示法。
IDFT则是反过来。

有什么好处呢？转成点值后：
(A=(x_1,A(x_1))(x_2,A(x_2))(x_3,A(x_3))……(x_{n-1},A(x_{n-1})))
(B=(x_1,B(x_1))(x_2,B(x_2))(x_3,B(x_3))……(x_{n-1},B(x_{n-1})))

那么乘起来就是：
(A*B=(x_1,A(x_1)*B(x_1))(x_2,A(x_2)*B(x_2))(x_3,A(x_3)*B(x_3))……(x_{n-1},A(x_{n-1})*B(x_{n-1})))

这样我们可以在(O(n))时间内做出。

然鹅朴素的DFT和IDFT还是(O(n^2))的，那么超级算法FFT就是用来优化之的。

FFT

流程图：

单位根的性质Copy我那个被吃掉的博客：

———————————————————————————————————

1、(omega_n^n=omega_n^0=1)
2、(omega_n^xomega_n^y=omega_n^{x+y}=omega_n^{(x+y)mod n})
因为两个相乘就相当于两个相加（显然），然后就相当于旋转了(x+y)次。如果mod一下，那么就相当于转了很多圈回到了原来的一个值。
3、(omega_n^x=omega_n^{n+x})
证明与上面的一样。
4、群的性质：满足(omega_n^x<>omega_n^y)当且仅当x mod n<>y mod n
5、消去引理：(omega_{dn}^{dx}=omega_n^x)
6、折半引理：(({omega_n^i})^2=(omega_n^{i+ frac n2 })^2=omega_n^{2i} (当2|n时))
证明：
(ecause({omega_n^i})^2=omega_n^{2i})
(ecauseomega_n^{2i}=omega_n^{2i+n}=(omega_n^{i+ frac n2 })^2)
( herefore({omega_n^i})^2=(omega_n^{i+ frac n2 })^2)
事实上：(omega_n^i=-omega_n^{i+ frac n2 })
很好理解恩？
7、求和引理： 对于任意正整数n和非负整数k，且n不是k的倍数时，满足：(sum_{i=0}^{n-1}(omega^k_n)^i=0)
证明：
运用等比数列：

[sum_{i=0}^{n-1}(omega^k_n)^i=frac{1-(omega_n^k)^n}{1-omega_n^k}=frac{1-(omega_n^n)^k}{1-omega_n^k}=frac{1-1^k}{1-omega_n^k}=0 ]

8、不知道什么引理或定理：
(omega_n^{k+frac n2}=-omega_n^k)

———————————————————————————————————

现在我们知道了单位根的性质了。
然后我们康康FFT怎么来用单位根的性质来加速。

[A(x)=sum_{i=0}^{n-1}a_i*x^i=a_0*x^0+a_1*x^1+a_2*x^2+……+a_{n-1}*x^{n-1} ]

我们把这个玩意按照下标奇偶性来分个类。

[=(a_0*x^0+a_2*x^2+……+a_{n-2}*x^{n-2})+(a_1*x^1+a_3*x^3+……+a_{n-1}*x^{n-1}) \=(a_0*x^0+a_2*x^2+……+a_{n-2}*x^{n-2})+x*(a_1*x^0+a_3*x^2+……+a_{n-1}*x^{n-2})]

设

[A1(x)=a_0*x^0+a_2*x+a_4*x^2+……+a_{n-2}*x^frac{n-2}2\A2(x)=a_1*x^0+a_3*x+a_5*x^2……+a_{n-1}*x^frac{n-2}2 ]

则

[A(x)=A1(x^2)+x*A2(x^2) ]

接下来我们开始利用单位根了！

设(k<=frac n 2)，然后把(omega_n^k)当做(x)代入得到：

[A(omega_n^k)=A1((omega_n^k)^2)+omega_n^k*A2((omega_n^k)^2) ]

根据折半引理：

[A(omega_n^k)=A1(omega_n^{2k})+omega_n^k*A2(omega_n^{2k}) ]

根据消去引理：

[A(omega_n^k)=A1(omega_frac n2^k)+omega_n^k*A2(omega_frac n2^k) ]

然后再把(omega_n^{k+frac n 2})代入得到

[A(omega_n^{k+frac n 2}) =A1((omega_n^{k+frac n 2})^2)+omega_n^{k+frac n 2}*A2((omega_n^{k+frac n 2})^2) \=A1(omega_n^{2k+n})-omega_n^k*A2(omega_n^{2k+n}) \=A1(omega_n^{2k})-omega_n^k*A2(omega_n^{2k}) \=A1(omega_frac n2^k)-omega_n^k*A2(omega_frac n2^k)]

继而发现，上面两坨玩意儿只有一个符号变了。
意味着，求出(A1(omega_frac n2^k))和(A2(omega_frac n2^k))的答案，即可求出(A(omega_n^k))与(A(omega_n^{k+frac n 2}))

于是我们就可以很开心地分治了。
由于分治的常数极大，所以我这里就不贴代码了。
下面有个神奇的优化可以完善之。

IFFT

前面加了个I的东东都是原来的东东的逆运算。
所以IFFT就是将点值转为插值的算法。

哦，点值转插值，这个我会。不就是拉格朗日插值吗？
那你可去试试

反正这玩意可以有多种方法来表示，什么矩阵，什么奇怪的推柿子。
然鹅我都不肥。

那就记住结论闯天下了。

• fft过程中乘上共轭复数，然后做完后再除以n就是插值了。

证明别找我。

迭代大法

于是我们发现：
每个下标的二进制形式反过来就是它们最后在序列中的位置。

蝴蝶变换

我不知道。

于是直接rush。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const double Pi=3.141592653589323846;
const int maxn=5e6;

int n,m,up,dep;
int rec[maxn];

struct node{
	double x,y;
}a[maxn],b[maxn];

node cheng(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x*b.x-a.y*b.y;
	c.y=a.x*b.y+a.y*b.x;
	return c;
}

node jia(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x+b.x;
	c.y=a.y+b.y;
	return c;
}

node jian(node a,node b)
{
	node c;
	c.x=a.x-b.x;
	c.y=a.y-b.y;
	return c;
}

void FFT(node *a,int n,int inv)
{
	if (n==1) return;
	int mid=n/2;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		rec[i]=(rec[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dep-1));
		if (i<rec[i]) swap(a[i],a[rec[i]]);
	}
	for (int len=1;len<=n;len<<=1)
	{
		int mid=len/2;
		node w,wn={cos(Pi/mid),inv*sin(Pi/mid)};
		for (int j=0;j<n;j+=len)
		{
			w={1,0};
			for (int i=0;i<mid;i++)
			{
				node q=cheng(w,a[j+mid+i]),p=a[j+i];
				a[j+mid+i]=jian(p,q);
				a[j+i]=jia(p,q);
				w=cheng(w,wn);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		int xx;
		scanf("%d",&xx);
		a[i].x=xx;a[i].y=0;
	} 
	for (int i=0;i<=m;i++)
	{
		int xx;
		scanf("%d",&xx);
		b[i].x=xx;b[i].y=0;
	}
	up=1;dep=0;
	while (up<=n+m) up=up*2,dep++;
	FFT(a,up,1);
	FFT(b,up,1);
	for (int i=0;i<up;i++)
	{
		a[i]=cheng(a[i],b[i]);
	}
	FFT(a,up,-1);
	for (int i=0;i<=n+m;i++)
	{
		printf("%d ",(int)(a[i].x/up+0.5));
	}
}

学习资料：
百度百科
https://www.cnblogs.com/Chandery/p/11332777.html
https://blog.csdn.net/YY_Tina/article/details/88361459
https://blog.csdn.net/enjoy_pascal/article/details/81478582
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html#_label4

NTT

直接看这个了，自我感觉写得还阔以

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const long long mo=1004535809;
const int maxn=5e6;

int n,m,up,dep;
int rec[maxn],w[maxn];
long long a[maxn],b[maxn];

long long qsm(long long a,long long b)
{
	long long t=1;
	long long y=a;
	while (b>0)
	{
		if ((b&1)==1) t=t*y%mo;
		y=y*y%mo;
		b/=2;
	}
	return t;
}

void FFT(long long a[],int n,int inv)
{
	if (n==1) return;
	int mid=n/2;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		rec[i]=(rec[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dep-1));
		if (i<rec[i]) swap(a[i],a[rec[i]]);
	}
	for (int len=2;len<=n;len<<=1)
	{
		int mid=len/2;
		for (int j=0;j<mid;j++)
		{
			for (int k=j;k<n;k+=len)
			{
				int p,q;
				q=w[j*(n/len)]*a[k+mid]%mo,p=a[k];
				a[k+mid]=(p-q+mo)%mo;
				a[k]=(p+q+mo)%mo;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	} 
	for (int i=0;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&b[i]);
	}
	n++;m++;
	up=1;dep=0;
	while (up<=n+m) up=up*2,dep++;
	w[0]=1;long long rev=qsm(3,(mo-1)/up);
	for (int i=1;i<=up;i++)
	{
		w[i]=w[i-1]*rev%mo;
	}
	FFT(a,up,1);
	FFT(b,up,1);
	for (int i=0;i<up;i++)
	{
		a[i]=(a[i]*b[i])%mo;
	}
	for (int i=0;i<=up/2;i++)
	{
		swap(w[i],w[up-i]);
	}
	FFT(a,up,-1);
	for (int i=0;i<=n+m-2;i++)
	{
		printf("%d ",a[i]*qsm(up,mo-2)%mo);
	}
}

MTT

这什么毒瘤东东。
放放，有时间再学吧
ColdChair大爷