DTOJ #3160. 序列计数（count）

【题目描述】

Alice想要得到一个长度为 $n$ 的序列，序列中的数都是不超过 $m$ 的正整数，而且这 $n$ 个数的和是 $p$ 的倍数。

Alice还希望，这 $n$ 个数中，至少有一个数是质数。

Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

【输入格式】

一行三个数， $n,m,p$。

【输出格式】

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量。由于满足条件的序列可能很多，输出结果对 $20170408$ 取模。

【样例】

样例输入
3 5 3

样例输出
33

【数据范围与提示】

对于 $ 20 \% $ 的数据， $ 1 le n le 100,1 le m le 100 $。

对于 $ 50 \% $ 的数据， $ 1 le m le 100 $。

对于 $ 80 \% $ 的数据， $ 1 le m le 10^6 $。

对于 $ 100 \% $ 的数据， $ 1 le n le 10^9,1 le m le 2 imes 10^7,1 le p le 100 $。

【题解】

设 $f[i][j][0/1]$ 表示前 $i$ 个数，和在 $mod p$ 意义下为 $j$，是否取了质数的方案数。

列出转移式后用矩阵快速幂或多项式优化即可。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
const int mod=20170408;
int n,m,p,pr[20000010],tot;
bool flag[20000010];
struct Poly
{
    int a[110];
    inline friend Poly operator + ( const Poly &p1,const Poly &p2 )
    {
        Poly p3;memset(p3.a,0,sizeof(p3.a));
        for ( int i=0;i<p;i++ ) p3.a[i]=(p1.a[i]+p2.a[i])%mod;
        return p3;
    }
    inline friend Poly operator - ( const Poly &p1,const Poly &p2 )
    {
        Poly p3;memset(p3.a,0,sizeof(p3.a));
        for ( int i=0;i<p;i++ ) p3.a[i]=(p1.a[i]-p2.a[i]+mod)%mod;
        return p3;
    }
    inline friend Poly operator * ( const Poly &p1,const Poly &p2 )
    {
        Poly p3;memset(p3.a,0,sizeof(p3.a));
        for ( int i=0;i<p;i++ ) for ( int j=0;j<p;j++ ) p3.a[(i+j)%p]=(p3.a[(i+j)%p]+1LL*p1.a[i]*p2.a[j])%mod;
        return p3;
    }
    inline friend Poly operator ^ ( Poly p,int n )
    {
        Poly res;memset(res.a,0,sizeof(res.a));res.a[0]=1;
        for ( ;n;n>>=1,p=p*p ) if ( n&1 ) res=res*p;
        return res;
    }
}A,B;
signed main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    flag[1]=true;
    for ( int i=2;i<=m;i++ )
    {
        if ( !flag[i] ) pr[++tot]=i;
        for ( int j=1;j<=tot and pr[j]*i<=m;j++ )
        {
            flag[i*pr[j]]=true;
            if ( !(j%i) ) break;
        }
    }
    for ( int i=1;i<=m;i++ ) A.a[i%p]++,B.a[i%p]+=flag[i];
    for ( int i=0;i<p;i++ ) A.a[i]%=mod,B.a[i]%=mod;
    printf("%d
",((A^n)-(B^n)).a[0]);
}